第二章平面介质光波导和耦合模理论

浙江大学光电系第二章平面介质光波导和耦合模理论 1

第二章平面介质光波导和耦合模理论

浙江大学光电系：时尧成 yaocheng@zju.edu.cn 13732241781

http://mypage.zju.edu.cn/yaocheng

浙江大学光电信息工程学系《集成光电子器件及设计》

第二章平面介质光波导和耦合模理论

• 平面介质光波导（光波导理论）光波导的结构；平板光波导，条形光波导，阶跃折射率光波导，

渐变折射率光波导；模式，导模，基底模，辐射模，传播常数；平板光波导中的 TE 模和 TM 模；条形光波导中的模和模；

• 耦合模理论模式耦合，平行耦合，反向耦合的概念；平面介质光波导的耦合模微扰理论；导模之间的耦合，导模与辐射模之间的耦合；定向耦合器和分支 Y 波导；

ymnE x

2.1 平面介质光波导• 2.1.1 平面介质光波导概述什么是集成光学？平面光波导概述• 2.1.2 平板光波导的分析方法射线光学法波动方程法• 2.1.3 条形光波导的分析方法马卡梯里法等效折射率法数值方法

目前，“集成光学”的概念涵盖广泛的内容。

• 1969 年美国贝尔实验室的 Miller 博士

（ 1 ）光束能限制在光波导中传播；

（ 2 ）利用光波导可以制成各种光波导器件；

（ 3 ）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路

美国华裔科学家田柄耕假借集成电路的概念，对集成光学归纳了三条定义：美国华裔科学家田柄耕假借集成电路的概念，对集成光学归纳了三条定义：

概念的提出概念的提出

什么是集成光学？

从四个方面理解集成光学的概念：

理论基础理论基础

•光学•光电子学

工艺基础工艺基础

•薄膜技术•微电子工艺

主要目的主要目的

•实现光学系统的薄膜化、微型化和集成化

主要应用主要应用

•光纤通信•光子计算机•光纤传感•光学信息处理等

集成光学的分类

按集成的方式划分按集成的方式划分个数集成

功能集成

个数集成

功能集成

按集成的类型划分按集成的类型划分光子集成回路（ PIC ）

光电子集成回路（ OEIC ）

光子集成回路（ PIC ）

光电子集成回路（ OEIC ）

按集成的技术途径划分按集成的技术途径划分

单片集成

混合集成

单片集成

混合集成

按研究内容划分按研究内容划分导波光学

集成光路

导波光学

集成光路

个数集成功能集成

电子学的发展过程：从真空管器件的真空电子学以晶体管为基础的固体电子学以集成电路为标志的集成电子学。

光子学也将有类似的发展过程：多元化的各种类型的激光器、光电探测器，并将向以微纳光子器件及光子集成器件为标志的集成光学的方向发展。

集成电子学和集成光学

• 集成光学正经历着于集成电子学同样的发证轨迹：

– 更小的单个器件。– 更紧密的集成。– 更低成本的加工工

艺。– ……

intel 4004

IBM CELL

transistor radio

分立元件

集成光学芯片

纳米集成光学芯片

集成电子学和集成光学

但是……

集成电路（ Electronic Integrated Circuits ）。 1958 年发明

↓60 年代：导弹制导芯片，小规模集成电路70 年代：计算器，中大规模集成电路

集成光路（ Photonic Integrated Circuits ）。 1969 年发明

↓1995 左右：商用 AWG 波分复用器

<10 年

~25 年

为什么？ 10

摩尔定律1965 年， intel 公司的 G. Moore 提出： CMOS 芯片单位面积的三极管数量每 24 个月翻一倍。

光子学摩尔定律

12Laser Photonics Rev. 6, No. 1, 1–13 (2012)

摩尔定律

• 集成电子学– 单一材料：硅

（并且他的氧化物 SiO2 是绝好的绝缘体）

– 单一平台： CMOS

– 单一基本元器件：三极管– 统一的 ITRS 路线图

（由几家大的国际企业定制）

– 尺寸： 10nm 几个 μm

• 集成光学– 许多不同种类且不兼容的材料：

GaAs, InP, 聚合物 , LiNbO3 ,...

– 许多不同的制作工艺配方。– 许多基本元器件：激光器，探测

器、调制器、滤波器 ...– 不同公司单独推行自己的解决方

案。– 尺寸：几个 μm 几个 cm

IBM Cell Processor

集成电子学 vs 集成光学

集成光学国际研究进展－理论、器件

围绕新型集成光学器件的结构设计、功能模拟与特性参数的

计算

围绕新型集成光学器件的结构设计、功能模拟与特性参数的

计算

基础理论研究

集成器件的结构和性能模拟

设计方法设计方法

传递矩阵法传递矩阵法

光束传播法光束传播法

时域有限差分法

有限元法有限元法

从基本原理入手，设计具有一定功能的光学器件

从功能角度出发，以提高器件性能，减少器件损耗，或者使

器件性能具备特色

从功能角度出发，以提高器件性能，减少器件损耗，或者使

器件性能具备特色

理论研究

基于固体物理学的基本理论和方法，研究和探讨制作微观集成光学器件的可能性

基于波动光学的理论和方法，从导波光学的角度来研究集成光学器件

器件研究

光通信领域光通信领域

集成光学传感器

其他集成光学器件

高速响应、低啁啾、单稳频集成激光器

可调谐激光器可调谐激光器

高速光调制器高速光调制器

窄带响应可调谐集成光子探测器窄带响应可调谐集成光子探测器

混合集成光隔离器混合集成光隔离器

光束偏转器光束偏转器极具前景的研究方

极具前景的研究方

光学双稳态材料、器件与集成的研究——光子计算机

传感器的集成光学器件与性能的研究传感器的集成光学器件与性能的研究

集成光学的基本单元：平面光波导

（ 1 ）光束能限制在光波导中传播；

（ 2 ）利用光波导可以制成各种光波导器件；

（ 3 ）将光波导和光波导器件集成起来可构成有特定功能的集成光路

核心：平面光波导

平面介质光波导的发展历史：光纤的雏形

1953 年，英国伦敦学院卡帕尼博士将此用于实际，发明了玻璃光导纤维：芯层 + 包层 (n 芯层 >n 包层 ) –光纤

1870 年，英国物理学家丁达尔

太阳光随着水流发生弯曲

n 水 > n 空气，光发生全反射

光纤的发展

23/4/21 19

“Father of Fiber Optic Communications“Charles Kuen Kao

K. C. Kao, G. A. Hockham (1966), "Dielectric-fibre surface waveguides for optical frequencies”, Proc. IEEE 113 (7): 1151–1158.

2009 Nobel Prize winner “for groundbreaking achievements concerning the transmission of light in fibers for optical communication”

光纤的发展

1966年，高锟和霍克哈姆发表的《用于光频的光纤表面波导》奠定了现代光通信的基础。高锟被尊为光纤之父。

1970 年，美国康宁公司制出对 0.6328m 波长的损耗为 20dB/km 的石英光纤，从此介质波导在光纤通信、传感等领域得到了广泛的应用。

之后爆炸性发展，从光纤损耗看 1970 年， 20dB/km

1972 年， 4dB/km

1974 年， 1.1dB/km

1976 年， 0.5dB/km

1979 年， 0.2dB/km

1990 年， 0.14dB/km

接近石英光纤的理论损耗 < 0.1 dB/km

短短几十年之内，全世界铺设的光纤总长度已超过 10亿公里，足以绕地球赤道 2.5万次

平面光波导型器件优点 : 低成本 , 小尺寸 , 高稳定性 , 适合于大批

量生产 ,抗电磁干扰，同时光制作工艺与集成电路工艺相兼容，可以方便与其它光电子集成器件集成于一个衬底上，实现单片集成等等

平面光波导型器件

在波导的包层中仍然存在光波的传输（倏逝波），但由于波导的限制作用，光束不会像在自由空间中那样发散

光波的传输

平板波导条形（矩形）波导

脊形波导

1-d 光限制 2-d 光限制

cladding

claddingcore

cladding

阶跃折射率光纤渐变折射率 (GRIN) 光纤

cladding

平面光波导的分类

光纤的折射率分布

单模光纤 (Single-mode Fiber) ：一般光纤跳纤用黄色表示，接头和保护套为蓝色；传输距离较长。

多模光纤 (Multi-mode Fiber) ：一般光纤跳纤用橙色表示，也有的用灰色表示，接头和保护套用米色或者黑色；传输距离较短。

50/125μm 62.5/125μm

光波导折射率分布

• 折射率突变型（阶跃型） SiO2， SOI ， InP ， Polymer

SiO2:Ge

Si substrate

n=1.47

n=1.46

渐变折射率波导• 渐变折射率光波导 Ti 扩散 LiNbO3 波导， K+ 离子交换玻璃波导

23/4/21 28

LiNbO3

LiNbO3:Ti

渐变折射率波导

• 其中 n0 为基片折射率， Δn 为扩散引起的最大折射率变化， w 为扩散源的横向宽度， hx、 hy 分别为横向、高度方向的扩散深度

0( , ) ( ) ( )n x y n n g x f y

)/exp()( 22yhyyf

首先在铌酸锂基体上用蒸发沉积或溅射沉积的方法镀上钛膜，然后进行光刻，形成所需要的光波导图形，再进行扩散。可以采用外扩散、内扩散、质子交换和离子注入等方法来实现。

其中

光波导材料

材料典型波导结构主要特点

铌酸锂

二氧化硅

磷化铟

聚合物

采用质子交换，金属扩散等工艺，电光系数，非线性效应高，但损耗较大 Ti+… LiNbO3

Ge:SiO2

采用 PECVD,干法刻蚀等工艺制作，损耗小，但只

能制作无源器件 Si基底

与集成电路兼容，但不适合制作发光器件

Si基底 SiO2

Si波导

InGaAsP InP 直接带隙，适合于发光器

件，高速调制器，光开光，的制作，但损耗较大

基底聚合物

采用旋涂,刻蚀等工艺，成本较低，电光，热光效应

高折射率对比，高集成度

较高，稳定性较差，易老化

Si substrate

Core--SiO2:Ge

2.1 平面介质光波导• 2.1.1 平面介质光波导概述• 2.1.2 平板光波导的分析方法射线光学法波动方程法• 2.1.3 条形光波导的分析方法马卡梯里法等效折射率法数值方法

平板光波导• 平板波导通常由三层介质组成导波层：中间层，介质折射率 n1 最大覆盖层：上包层，折射率 n3< n1

衬底层 : 下包层，折射率 n2< n1

• n2=n3 ，称为对称型平板波导。反之，称为非对称型平板波导覆盖层

导波层

衬底层

平板光波导分析方法

• 射线光学方法（几何光学）射线理论分析法简单、直观、物理概念清

晰，并能得到一些光在光波导中的基本传输特性。

• 波动方程方法（麦氏方程 +边界条件）要描述波导中的模场分布，则需用严格的

电磁场理论来分析

基本概念回忆：内反射

光在玻璃里入射到与空气交接的界面上

将发生什么 ?

airglass

一个小的模拟程序（ Snell 定律）

全内反射

全内反射 (Total Internal Reflection, TIR)- 光波导的物理基础全反射临界角 (critical angle)

arcsinn

i c i> c

Critical Angle TIR

Evanescent Waveo

Incident Light

Reflected Light

Refracted Light

i c R<1 i c |R|=1

平面波导射线分析

• 光线只有全反射才能在波导里稳定传输

n1 > n2

波导内入射角 > c

全反射形式稳定传输

波导的数值孔径

如果将光耦合进入波导稳定传输，那么在空气中的入射角应满足什么条件

sin ; n

n 全反射临界角

211max0 sinsin nnnn c

最大入射角 , 可以从Snell’s 定律求得

数值孔径 :

1max0 2sinNA

波导的数值孔径

光要想耦合进入波导稳定传输，入射角必须小于某个值 θ0 ，但是否只要小于该角度就能稳定传输呢？

平板波导的色散方程

式中 m 是整数，代表不同的模式 , 真空中波矢

要维持光波在导波层内传播，必须使光波在导波层上、下界面之间往返一次的总相移为2π 的整数倍。上、下截面全发射相移分别为 13 、 12 ，则可得到平板波导的模方程：

1 0 12 132n cos 2k t m

只有满足这个条件（本征方程）的光才可能稳定传输。每个 m取值代表本征方程的一个解。

思考：该方程中各字母的物理意义

是相位

的单位

1、 2界面反射时产生的相

1、 3界面反射时产生的相

光波前进过程中的相位变化

1 0 12 132n cos 2k t m

思考：光在 1、 2和 1、 3表面全反射时分别产生了一个附加相位，为什么？

思考：全反射时发生的相位变化大小怎么求？

只要想到反射折射的大小变化，首先想到菲涅尔公式

1 1 2 2

cos cos( )=

cos cosTE s

n nr r

或 1 1 2 2sin sinn n 代入折射定律

全反射相移

当全反射发生时根号为虚数，因此此时的反射系数为一复数

1/ 22 2 21 1 2

12 2 21

sin2 tan

1/ 22 2 21 1 3

13 2 21

sin2 tan

全反射相移

思考：全反射时的相位变化究竟怎么产生的？

expE A j k r

思考：光在传输过程里如何产生相位变化？相位不存在突变之说，相位的产生途径只有一个，即传输一段距离，即相位变化源自于

1 0 12 132n cos 2k t m

思考：从以上分析可以得到什么必然结论？

expE A j k r

全反射时，光不是于入射点终止，而是

前进了一段又回来了

1 0 12 132n cos 2k t m

古斯汉森 (Goos-Hanchen) 位移

在全反射发生时，实际入射光会部分进入光疏介质，形式上相当于反射点相对入射点有个偏移距离

平板波导的本征方程

• 对于 TE 波，全反射相移为1/ 22 2 2

1 1 212 2 2

sin2 tan

1/ 22 2 21 1 3

13 2 21

sin2 tan

1/ 2 1/ 22 2 22 2 2

1 1 1 31 21 0 2 2 2 2

sinsinn cos tan tan

cos cos

n nn nk t m

1/ 22 2 2 21 1 1 2

12 2 2 22 1

sin2 tan

1/ 22 2 221 1 31

13 2 2 23 1

sin2 tan

• 对于 TM 波，全反射相移为

1/ 2 1/ 22 2 22 2 2 2 21 1 1 31 1 2 1

1 0 2 2 2 2 2 22 1 3 1

sinsinn cos tan tan

cos cos

n nn n n nk t m

n n n n

设平面波在折射率为 n1 的介质中的波矢量为 k1

k1x = n1k0cosi

式中 k0 为平面波在真空中的波矢的大小

k1z = n1k0sini

k1 在 x 方向和 z 方向的分量分别为：

定义传播常数： =n1k0sini=k1z

定义有效折射率 neff: neff= /k0= n1sini

k1k’1

传播常数、模式

导波存在条件： k2< < k1

n2< neff< n1

每个 m 对应一个 i ，对应一个

光波导的模式

光线在上、下两个界面的全反射临界角分别为 :

θc13=arcsin(n3/n1)

θc12=arcsin(n2/n1)

麦克斯韦方程• 从麦克斯韦方程，建立光波在介质波导中的电磁场分布方程（波动方程），结合边界条件导出传播模式的特征方程，进而讨论介质波导中光传播的特性。

时谐电磁场的麦克斯韦方程组

波动方程• 将矢量各分量展开，得

并且考虑到 y方向是均匀的，即 0y

设波沿着 z 方向传播，则沿 z 方向场的变化可用一个传输因子 exp(-iβz)来表示

TE模 (横电模 ) TM模 (横磁模 )

波动方程（ TE 模）

0)( 22202

y Exnkx

22 2 2

0 320y

Ek n E

22 2 2

0 120y

Ek n E

22 2 2

0 220y

Ek n E

包层薄膜层衬底

波动方程的解

上式为波动方程，也叫做 Helmholtz 方程，其通解可表示为：

22 2 2

0 120y

Ek n E

cos sin

exp exp

E a k x a k x

a jk x a jk x

a j k x

其中，通常称为横向波矢。 a1, a2,

为待定系数。

2 2 20 1Tk k n

波动方程的解（场分布）

exp[ ( )] cladding

( ) cos( ) core

exp[ ( )] substratey x

E x a x a

E x E k x a x a

E x a x a

2 2 2 23 0 3k n 2 2 2 2

2 0 2k n

2 2 2 20 1xk k n

0 1 0 3 0 2max( , )k n k n k n

根据物理意义可以预见在导波层内是驻波解，可用余弦函数表示，而在覆盖层、衬底层中是倏逝波，应是衰减解，用指数函数表示。

导模存在条件： kx、 a3、 a2均应为实数，故须满足

与射线法结果一致

边界条件边界条件为：边界处切向 Ey 分量连续，切向分量 Hz也连续，由知连续

(1) x= -a处，

1 2cos( )xE k a E

1 2 2 2sin( ) | exp[ ( )] |x x x a x ak E k x E x a

1 2 2( sin( ) )x xk E k a E

2tan( )xx

(2) x=a处，

1 3cos( )xE k a E 1 3 3 3sin( ) | exp[ ( )] |x x x a x ak E k x E x a

1 3 3( sin( ) )x xk E k a E

3tan( )xx

1 1 322 tan ( ) tan ( )xx x

k a mk k

TE 模关于的函数

TE 模的特征方程：

与射线法得到结果的一致：

1 0 12 132n cos 2k t m

1 1 322 tan ( ) tan ( )xx x

k a mk k

TM 模的特征方程：2 2

1 131 1 22 23 2

2 tan ( ) tan ( )xx x

n nk a m

n k n k

特征方程（本征值方程）

关于的函数

3tan( )xx

2tan( )xx

特征方程

• 考虑对称波导的情况

2 tan2x x

ma k a k a

1 1 322 tan ( ) tan ( )xx x

k a mk k

2 2 2 20 1xk k n

2 2 2 22 0 2k n

2 2 2 2 2 20 1 2( ) ( ) ( )xa k a k a n n

图解法求解特征方程

模式的阶数：mm越大， kx越大，越小。

2 2 2 2 2 20 1 2( ) ( ) ( )xa k a k a n n

2 tan2x x

ma k a k a

’i i

模式数量2 2 2 20 1 22 ( )k a n n

2 2 2 2 2 20 1 2( ) ( ) ( )xa k a k a n n

2 tan2x x

ma k a k a

向下取整

0阶模总是存在

2 2 2 20 1 2( )

2k a n n

2 2 2 2 2 20 1 2( ) ( ) ( )xa k a k a n n

2 tan2x x

ma k a k a

1阶模存在条件 :

2 2 2 20 1 2( )k a n n

2阶模存在条件 :

单模条件2 2( ) ( )

2xa k a

2 2 2 20 1 2( )

2k a n n

2 2 2 2 2 20 1 2( ) ( ) ( )xa k a k a n n

2 tan2x x

ma k a k a

截止波长

• 对于对称平板波导， TE0和 TM0 的截止波长均为无限长

2 00 n k 2 21 2

2 22 3

2 21 2

arctan

辐射模条件

截止波长

2 21 2

2 2 22 31

2 23 1 2

arctan

特征方程与色散曲线

• 特征方程中有 4 个参数（ n1,n2,a, ），改变任何一个结构参数都要对方程重新求解，不利于应用。为此作归一化处理。

• 传播常数范围：• 归一化传播常数：

• 波导参数 V ：

1020 nknk

2 20 2

2 21 2

/ k nb

2 20 1 2V k a n n

2 tan2x x

ma k a k a

• 用 b和 V 表示的特征方程：

1arctan

（m = 0,1,2,--- ）

色散曲线：• 波导参数一旦确定，对应

模的数量就确定；• m=0 模的传播常数最大，随着m 的增大，传播常数减小；

• 特征方程表示的是 TE 波（ S 波），习惯用模的阶数作为偏振光的下标，如 TE0

模，如 TE1 模等。

• 当给定 V值后，波导中可能存在的导波模数量就确定了；

• b=0称为截止，从图中可见， TE1 模的截止 V值等于 /2 ，如果 V值小于 /2 ，则只有一个模，称其为单模区；

• V值大于 TE1 模的截止 V值，称其为多模区；

• TM 波的导波参数 V与 TE 波稍有不同，如果相对折射率不到 1% ，则同阶模的 V值可认为相同。

色散曲线

2 tan2x x

ma k a k a

均匀空间平面波的色散曲线：

三层对称平板波导色散曲线：

（一条直线）67

平板波导模式分布

exp[ ( )] cladding

( ) cos( ) core

exp[ ( )] substratey x

E x a x a

E x E k x a x a

E x a x a

将特征方程的解，代入上式，并确定各个系数，求得 Ey 。而后根据右式，确定其余场分量。

场在覆盖层和衬底中是按指数函数衰减的，衰减的快慢分别由衰减系数和确定。

和的值大，则场衰减快，穿透深度 1/和 1/就浅，说明场主要束缚在导波层中。反之，和的值小，则场衰减慢，穿透深度就深，说明波导束缚场的能力差。

和的大小与覆盖层、衬底的折射率有关，同时还与模序数m 密切相关。由模式本征方程可以导出， m越大，则 β越小，和也越小。这表明高阶模的电磁场可延伸到导波层外的距离较远。

从量子力学的角度来看平板波导对光的束缚

0)(][ 2220

2 xUnkx Helmholtz equation:

nncorenclad

Schrödinger equation:0)(]

1[ 2 xEV

1-d potential well

• 离散能级 ( 能态 )

•势阱越深将支持更多的能级

• 离散的传播常数值• 波导越宽折射率差越大，

可容纳的模数就越多

求传播常数的顺序

波导参数： a,n1,n2

V 参数

色散曲线

归一化传播常数 b

传播常数

电场分布群速度色散

波长：

特征模的展开

• 任意电场分布的光波入射如何转变成特征模？• 处理方法：将任意电场分布展开，分解成不同特征模的电磁场分布。– 数学上用正交函数展开，如傅立叶级数等，称之为特征模展开；– 各导波模以相应阶数模的传播常数传播；– 随着光的传播，不同模之间的相位差将发生变化，导致导波模叠加以后的电磁场分布也随着传播过程而变化，光束像蛇一样反复蠕动前进。

( ) exp[ ( )]mm m

A E x j t z

光波导中的各种损失

• 在单模波导中导波模只有基模，其余展开分量全部转变成耦合损失，所以为减小耦合损失，应尽量使入射光束的形状与波导基模的形状相同。

渐变折射率波导

在扩散性波导中，折射率分布多为渐变式：

对称型渐变折射率波导 75

渐变折射率波导中光的传播

光纤向折射率高的方向偏折

渐变折射率波导的应用

渐变折射率波导中的光纤传输呈周期性聚焦：

若长度取 1/4周期，则输出为平行光：

中间可插入波片、偏振片、滤波片，方便进行光信号处理。

条形光波导的分析方法• 光在平板波导中传播时，在无约束的方向

上发散。为了避免这种情况，在集成光学中通常采用条形波导。和平板波导相比，条形波导的分析要复杂得多。通常采用近似的方法对此进行分析。

马卡梯里法等效折射率法数值方法（有限差分，有限元）

马卡梯里法 (Marcaili)

由于导波模的大部分能量集中在波导芯层内传输，而在波层中的能量很少，图中阴影部分的能量就更少。马卡梯里(Marcaili) 方法的近似处理是忽略图中的四个阴影区域，只考虑图中五个区域。矩形光波导的近似分析

严格分析，必须将空间区域分为 9块，每块中有 6 个场矢量的分量，同时必须在 12个界面满足边界条件。

Marcaili近似分析

以 Ex、 Hy为主的模

xmnE 以 Ey、 Hx为主的模

2 22 2 2

02 2( , ) 0y y

H Hk n x y H

从波动方程出发，且xmnE 的 Hx 分量为 0

假设场分布 E(x, y)可以表示成如下分离变量的形式

( , ) ( ) ( )yH x y X x Y y 0)(11 22

将上式分裂成如下两个方程，即：

分立变量法2 2

2 2 202 2

0y yi y

H Hk n H

2 2 2 2 20 1x yk k k n 其中：

对以上两个方程分开求解，然后再合并。 82

cos( )cos( ) 1

cos( )e 2

cos( )e 3( )

cos( )e 4

cos( )e 5

x x y yy W

x xy Wj z

x xixx X

y yx X

H k x k y i

H k x i

H k x iH x e

H k y i

波动方程的解

2 2 2 2 20 1

2 2 2 2 22 0 2

2 2 2 2 23 0 3

2 2 2 2 24 0 4

2 2 2 2 25 0 5

k k k n

其中

为 z 方向传播常数

kx,ky为 x,y 方向传播常数

特征方程

by xH zE根据处和连续的条件，可以得到22

1 1 322 21 2 1 3

tan ( ) tan ( )y yy

k knnk W n

x a xH zE根据处和连续的条件，可以得到22

1 1 542 21 4 1 5

tan ( ) tan ( )x xx

k n knk X n

用数值方法可获得 (kx, ky), 之后再求出模斑分布

ymnE 可以用类似的方法得到

2 2 2 2 20 1

2 2 2 2 22 0 2

2 2 2 2 23 0 3

2 2 2 2 24 0 4

2 2 2 2 25 0 5

k k k n

矩形波导的模场分布

(a) m=1, n=1 (b) m=2, n=1; (c) m=1, n=2;

0]),([ 220

Ekyxny

假设场分布 E(x, y)可以表示成如下分离变量的形式

)()(),( yYxXyxE

0)(11 22

0]),([1 2

02neff

knkyxny

0])([1 22

02neff2

将上式分裂成如下两个方程，即

其中 neff(x)即为等效折射率分布，可由平板波导本征方程解得 ( 同时可得 Y(y)) ，即可得到一个等效的平板波导，由此很容易得到本征值 β 和相应的本征向量 X(x)

等效折射率法

•(1) 将三维波导分解成平板波导的组合 (如

图所示 ) ；

•(2) 对每个平板波导，沿着 y 方向根据平板

波导本征方程求解 neff(x)( 图示 neff2， neff3) ；

•(3)根据步骤 (2) 中得到的 neff2， neff3 ，得到

沿着 x 方向的折射率分布 ( 二维平板波导 ) ；

•(4)对 x 方向的平板波导再解一次平板波导本征方程，可以得到传播常数。

•在整个求解过程中，需要注意的是，若求解TE模 Ex，则在求 neff(x)时，应取 TE模，而在求时，应取 TM模；求解 TM模 Ey，则在求 neff(x)

时，应取 TM模，而在求时，应取 TE模；

neff1 neff2 neff2

数值解法解析解比较困难，近似会存在比较大的误差；数值

方法被应用到光波导模式解中• 线方法 (the Method of Lines, MoL) • 矩方法 (the Method of Moments, MoM)• 有限差分方法 (the Finite Difference Method, FDM• 边界元方法 (the Boundary Element Method, BEM• 有限元方法 (the Finite Element Method, FEM)

有限差分方法

xx xy x x

yx yy y y

P P E E

P P E Ez

2 22 2

( )1( )

x xxx x x

y yxy y

y yyy y y

x xyx x

n E EP E n k E

x n x y

n E EP E

x n y x y

n E EP E n k E

y n y x x

n E EP E

y n x x y

折射率 n 是位置 (x, y) 的函数，因此不能消去

由麦克斯韦尔方程得到全矢量波动方程（无近似）：

有限差分方法• 设光波沿着 z 方向传播，则沿 z 方向场的

变化可用一个传输因子 exp(-iβz)来表示，即

• 对于 FDM ，考虑的是某个波导截面的场分布，从而有，如果两个分量之间的耦合很弱以致可以忽略 (这对很多光波导器件来说都是满足的 ) ，就可以考虑半矢量的情形，即忽略耦合项Pxy,Pyx, 可以得到

2( 2 )xx xy x x

yx yy y y

P P E Ej

P P E Ez z

2 22 2 2

( )1 x xx x

n E En k E E

x n x y

2 22 2 2

( )1y yy y

E n En k E E

x y n y

有限差分方法

• 五点差分，可以将方程进行差分离散化

(i,j-1)

(i,j+1)

(i+1,j) (i-1,j)

xi-1/2 xi xi+1/2 xi+1 xi-1

δxi-1/2 δxi+1/2

yj+1/2

yj-1/2

δyj+1/2

δyj-1/2

EeEdEcEbEaE jijijijiji2

1,,1,,11,

2 21, , 1/ 2, ,

2 1i j

i j i j i j i j

n n x x

2 21, 1, 2 2

, 02 2 2 2 21, , 1/ 2, , 1, , 1/ 2, ,

2 21 1 2i j i ji j

i j i j i j i j i j i j i j i j j

n nc n k

n n x x n n x x y

2 21, , 1/ 2, ,

2 1i j

i j i j i j i j

n n x x

微分变为差分：0

( / 2) ( / 2)( ) lim

f x x f x xf x

有限差分方法

边界条件：数值计算所模拟的空间不能无限大！！！

计算空间有限必须对计算空间进行截断边界条件

SiO2:Ge

Si substrate

完纯导体边界边界处电场或磁场设为 0任何达到该边界的电磁场将被反射

完美匹配层边界(PML)

任何达到该边界的电磁场将被吸收

用于模拟无限大的空间

计算空间

的边界

EeEdEcEbEaE jijijijiji2

1,,1,,11,

SiO2 波导的模场

SiO2:Ge

Si substrate

几种折射率差的 SiO2 波导

波导类型低 Δ 中 Δ 高 Δ 超高 Δ

折射率差 Δ(％ ) 0.25 0.45 0.75 1.5

芯层尺寸 μm 88 8866－

传输损耗 (dB/cm) <0.01 0.017 0.035 0.07

光纤耦合率 *(dB) 0.1 0.2 0.5 2-2.5

最小弯曲半径 *(mm) 25 15 5 1-2

*单模光纤： 2a=8.9μm， Δ=0.27% (加了折射率匹配油 ).*对于 =1.55μm， 90度弯曲波导的损耗小于 0.1dB.

弯曲波导

InP 波导的模场

InGaAsP

硅纳米波导

TM 模场分布 TE 模场分布

LiNbO3 波导

LiNbO3

LiNbO3:Ti

TE 模场分布 TM 模场分布

光束传输法 (Beam Propagation Method)

• 光束传输法 (BPM) 简单方便、计算速度快、准确性高，因此，现在的光波导数值分析中， BPM 是应用广泛的一种方法。

• BPM广泛应用于光波导器件的模拟，如 Y分支， MMI 光功分器等。 BPM 发展至今，已经有快速傅立叶方法 (Fast Fourier Transfer ,FFT-BPM) 、有限差分 (Finite Difference ,FD-BPM) 和有限元光束传输法(Finite Element Method， FEM-BPM) 等。

Beam Propagation Method (BPM)

• 有限差分光束传输法 (FD-BPM) 是由 Yevick.D 等人于 1989 年提出的。• FDBPM 的简要过程为：波导横截面被分成很多方格，在每一个格内

的场用差分方程来表示，然后加入边界条件，就可得到整个横截面的场分布 , 输入初始场，通过不断叠代，最后可得到整个波导中的场分布。

• 这种方法已被成功的应用于于光波导器件的模拟，如 Y 型波导及 S型弯曲波导中 ,MMI 光功分器 , 定向耦合器等。

23/4/21 第二章平面介质光波导和耦合模理论 102

i=1 i=I i=0 i=I+1

2( 2 )xx x xP E j E

2( 2 )yy y yP E j E

在傍轴近似的条件下，可以假设远小于，则这一项被忽略，从而可以得到：

2 2 202 2

( )12x x x

n E E En k E j

x n x y z

2 2 202

( )12y y y

n E E En k E j

y n y x x z

xx xy x x

yx yy y y

P P E E

P P E Ez

波动方程

• 在 FDBPM 中，考虑横截面 (x,y) 的场分布为离散的点组成的网络，在传播方向 (z 向上 )亦为离散的平面 ( 横截面 ) 。

• FDBPM建立方程组使用的是递推的方法，假设沿 z 向的第 k 个平面的场分布是已知的，求出第 (k+1) 个横截面上的场分布，再由第 (k+1) 个场分布去推知下一个横截面(k+2) 上的场分布，依次类推即可推得整个场的分布。

1, ,m mi j i jE EE

21, , 1,

2m m mi j i j i jE E EE

2, 1 , , 1

2m m mi j i j i jE E EE

100000000000

000000000

00000000

0000000000

000000000

000000000001

直波导直波导

锥形波导锥形波导

Y-Y- 分支波导分支波导

方向耦合器方向耦合器

Commercial BPM codes:• RSoft - BeamPROP: ttp://www.rsoftdesign.com/ • Optiwave - OptiBPM: www.optiwave.com • C2V: http://www.c2v.nl/index.shtml • Apollo Photonics: www.apollophotonics.com • Photon Design: www.photond.com • Breault Research Organization:

www.breault.com

Commercial FDTD codes:• Lumerical: http://www.lumerical.com/

• Cray: http://lc.cray.com/

• Empire: http://www.empire.de/

• Optiwave: http://www.optiwave.com/

• RSoft: http://www.rsoftdesign.com/

• Vector Fields: http://www.vectorfields.com/concerto.htm

• Quick Wave: http://www.ire.pw.edu.pl/ztm/pmpwtm/qw3d/

• Zeland Software: http://www.zeland.com/fidelity.html

• Apollo Photonics: http://www.apollophoton.com/

• Applied Simulation Technology: http://www.apsimtech.com/

总结• 平面波导三个概念：全反射、数值孔径、古斯汉森位移

• 能够体会波导模式的物理意义，理解与波导模式相关的因素

• 理解平面波导的本征方程及其体现的物理含义

To be continued ……To be continued ……

第二章 平面介质光波导和耦合模理论

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6.4 光电耦合器件

25 C 时电解质水溶液的摩尔电导率 p.290. 注意强、弱电解质溶液的区别 p.291 00.1 0.2 HCl KCl HAc 430.

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