Место темы Место темы «Обыкновенные дроби» «Обыкновенные дроби» среди других тем курса среди других тем курса

математикиматематики

Натуральные числа и число 0

Мотив введения

обыкновенных дробей

Не хватает чисел для выполнения

простейших вычислений

Определение обыкновенной дроби

Основное свойство дроби

Равные обыкновенные

дроби

Сравнение дробей

Сократимые дроби

Несократимые дроби

Способы доказательства

равенства дробей

Изображение на координатной

прямой

Действия с обыкновенными дробями

Действия со смешанными числами

Перевод в де-сятичную дробь Умножение Деление Сложение Вычитание

Нахож

дени

е

части

от

чи

сл

а

Разн

ые

способ

ы

ум

нож

ени

я

Законы

Нахож

дени

е

чи

сл

а п

о е

го

части

Распр

ед

ел

и-

тел

ьны

й

закон

Законы

сл

ож

ени

я

Рац

ионал

ьн

ые п

ри

ем

ы

вы

чи

тани

я

Рациональные числа

⅓⅓

⅔⅔⅛⅛

ООббыыккннооввеенннныыее ддррооббии

ООббыыккннооввеенннныыее ддррооббии

Итоговый урок по темеИтоговый урок по теме

⅝⅝⅜⅜

2

История История вопросавопроса

В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах...

13

...!?

Но с развитием Но с развитием цивилизациицивилизации

человеку человеку потребовались потребовались всё большие и всё большие и большие числа...большие числа...

35835810241024106620100

10100

Процесс этот Процесс этот продолжался продолжался

несколько столетийнесколько столетий

и потребовал и потребовал большого большого

умственного трудаумственного труда

С зарождением обменаС зарождением обмена

>><<??==??

Действия над числамиДействия над числами

==??

Развитие наукиРазвитие наукиВозникновению и развитию

науки арифметикиарифметики способствовало её

практическое применениемореплаваниемореплаваниеторговляторговлястроительствостроительство

Много вековМного вековв арифметике имели дело с относительно небольшими числами.Например, в системе счисления Древней Греции самыми боль-шим числом, которое имело название, была «мириада» - 10000.

Долгое времяДолгое время

для записи чисел люди для записи чисел люди пользовались только пользовались только

целыми числамицелыми числами

104104 2672675385388754

8754 970970

Но числа бывают и...Но числа бывают и...

дробными,дробными,

то есть то есть неполныминеполными

151577

8833

2211

Обыкновенной Обыкновенной дробьюдробью

называется

часть единицычасть единицыили несколько частей или несколько частей единицыединицы

22112211

44114411

4433

Название долей Название долей зависитзависит

от того, на сколько равных от того, на сколько равных частей разделена единица частей разделена единица

(предмет, фигура)(предмет, фигура)

44114411

8811

Пять шестых

Одна шестая

1166

5566

ОпределениеОпределение

ррппрп Число, показывающее, на

сколько долей разделена единица (целое),

называется знаменателем дроби

Число, показывающее количество взятых долей,

называется

числителем дроби

Если числитель меньше знаменателя (p < n), то

дробь называется

правильнойправильной

Если числитель не меньше знаменателя (p ≥ n), то

дробь называется

неправильнойнеправильной

Здесь p – целое число, n – натуральное число

Смешанное числоСмешанное число

Запись вида

np

a называется

смешанным числомсмешанным числом ,

где aa – целая часть, - дробная часть – целая часть, - дробная частьnp

Выделение целой Выделение целой части из части из

неправильной дробинеправильной дробиПусть дробь неправильная. n

b

b : n = a (остаток p)

nb

=

a

aa

p

pp

n

nn

Всякую дробь можно Всякую дробь можно отобразить на числовом отобразить на числовом

лучелуче

О 1

Х

Луч с заданным единичным отрезком называют числовымчисловым

О 1

Х

2 3 4

A P

Единичный отрезок

Р(3)Р(3)

AA((11))

Координата точки P равна 3

Координатный лучКоординатный луч

- второе название числового - второе название числового лучалуча

Отображение Отображение обыкновенных дробей на обыкновенных дробей на

числовом лучечисловом луче

О 1

ХA

Чтобы отобразить на числовом луче дробное число, единичный отрезок делят на части

6622

6655

3311

2211

Отображение Отображение обыкновенных дробей на обыкновенных дробей на

числовом лучечисловом луче

О 1

Х

2

6688

66

1111

3344

=331111

С помощью С помощью числового числового

(координатного) (координатного) лучалуча

можноможно

сравнивать дробные числасравнивать дробные числа

np

qt

>><<==?? выполнять выполнять

арифметические действияарифметические действия

++сложенисложени

ее

––вычитаниевычитание

××умножениумножени

ее

::делениеделение

Сравнение дробейСравнение дробейСравнение дробей выполняется Сравнение дробей выполняется по правилу:по правилу:

если числам соответствует одна и та если числам соответствует одна и та же точка числового луча, то числа же точка числового луча, то числа считаются равнымисчитаются равными

О 1

Х6622

3311

6622

==3311

Сравнение дробейСравнение дробейТеоремаТеорема

Для того чтобы две дроби были равны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство натуральных чисел.

п

pp==

q

tt, , еслиесли pq = ntpq = nt

Эквивалентные Эквивалентные дробидроби

Две дроби

п

pp

q

ttи

называются эквивалентнымиэквивалентнымикогда они выражают длину одного и того же отрезка

,

Несократимые Несократимые дробидроби

Если числитель и знаменатель дроби

п

pp

числа взаимно простые*, то дробь называется

несократимойнесократимой

* - взаимно простыми называются числа, не имеющие общего делителя

Несократимые Несократимые дробидроби

ТеоремаТеоремаДля любого положительного

рационального числа (т.е. для множества эквивалентных

дробей) найдется одна и только одна представляющая его

дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты.

Сравнение дробейСравнение дробейСравнение дробей выполняется Сравнение дробей выполняется по правилу:по правилу:

на числовом луче большему из двух на числовом луче большему из двух чисел соответствует точка, расположенная чисел соответствует точка, расположенная правееправее

О 1

ХA

3311

6655

6655

>>3311

Основное свойство Основное свойство дробидроби

Величина дроби не изменится, если её числитель и

знаменатель одновременно умножить (разделить) на одно и то же число, не равное нулю.

п

pp

n · a

p p ·· a a==

a ≠ 0a ≠ 0

п

pp

n :a

p p : : aa==

Арифметические Арифметические действия с дробямидействия с дробями

СложениеСложение

пп

pp++

пп

tt==

nn

pp ++ tt

ВычитаниеВычитание

────

n ≠ 0n ≠ 0

Арифметические Арифметические действия с дробямидействия с дробями

УмножениеУмножение

пп

pp··

qq

tt==

nn

pp

··tt

ДелениеДеление

::

n ≠ 0n ≠ 0; ; q ≠ 0q ≠ 0

··qq

n ≠ 0n ≠ 0; ; q ≠ 0; t q ≠ 0; t ≠ ≠ 00

qq

tt

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей

Дроби с одинаковыми Дроби с одинаковыми знаменателямизнаменателями

88

33

88

11==

88

33 11++ ++ ==

88

44==

22

11

Числители дробей складываютсяЧислители дробей складываются

Знаменатели остаются без изменения!Знаменатели остаются без изменения!

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей

Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями

++8833

118811

22 ==8833

22++ ++(( 11))8811

++ ==

== 338844 ==33

2211

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей

Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями

++8855

118855

22 ==8855

22++ ++(( 11))8855

++ ==

==33881100 ==44

4411

При получении в сумме неправильной При получении в сумме неправильной дроби из неё всегда выделяется целая дроби из неё всегда выделяется целая

частьчасть

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей

Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями

44

11

88

33++ ==????

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на сложение дробейсложение дробей

Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями

О 1

Х

О 1

Х

О 1

Х88

55

88

55

44

11

88

33++ ==????

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробейДроби с одинаковыми Дроби с одинаковыми

знаменателямизнаменателями

88

33

88

11==

88

33 11–– –– ==

88

22==

44

11

Из числителя уменьшаемого вычитается Из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемогочислитель вычитаемого

Знаменатели остаются без изменения!Знаменатели остаются без изменения!

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей

Смешанные числа с одинаковыми Смешанные числа с одинаковыми знаменателямизнаменателями

––8855

558822

22 ==

8855

55 ––

++

(( 22))

8822––

++

==338833

При невозможности выполнить вычитание дробных частей При невозможности выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого

дробят и «присоединяют» к его дробной частидробят и «присоединяют» к его дробной части

(( ))

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей

Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями

88

77

44

11==

88

77 22–– ––

==88

55

88

77

88

22–– ==

Перед началом выполнения действия с дробями, Перед началом выполнения действия с дробями, имеющими разные знаменатели, необходимо имеющими разные знаменатели, необходимо

выполнить приведение дробей к одному знаменателювыполнить приведение дробей к одному знаменателю

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на вычитание дробейвычитание дробей

Дроби с разными знаменателямиДроби с разными знаменателями

О 1

ХО 1

Х

О 1

Х88

33

88

33

88

55

44

11–– ==????

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на умножение дробейумножение дробей

88

55

33

22==

88

55 22·· ·· ==

2424

1010==

1122

55

Числители дробей перемножаютсяЧислители дробей перемножаются

Знаменатели дробей перемножаютсяЗнаменатели дробей перемножаются

Первое произведение делится на второеПервое произведение делится на второе

33··

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на умножение дробейумножение дробей

==88

5522··

88

55 22·· ==88

1010==

Умножение дроби на натуральное Умножение дроби на натуральное числочисло

nn

ррtt ==

nnpp tt

·· ··

44

1111

В этом случае достаточно умножить числитель на В этом случае достаточно умножить числитель на натуральное число и поделить произведение на знаменательнатуральное число и поделить произведение на знаменатель

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей

==88

5522::

88

55

22··==

16161616

5555

Деление дроби на натуральное Деление дроби на натуральное числочисло

nn

ррtt ==

nnnnpp

tt::

··

В этом случае достаточно умножить знаменатель на В этом случае достаточно умножить знаменатель на натуральное число и поделить числитель на произведениенатуральное число и поделить числитель на произведение

Взаимно обратные Взаимно обратные дробидроби

Дроби Дроби называются называются

взаимно взаимно обратными, обратными,

если их если их произведенипроизведени

е равно е равно единицеединице

nn

рр··

pp

nn==11

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей

Деление дроби на дробьДеление дроби на дробь

==

В этом случае достаточно заменить деление дробей В этом случае достаточно заменить деление дробей умножением делимого на дробь, обратную делителюумножением делимого на дробь, обратную делителю

nn

рр::

tt

qq

nn

рр··

qq

tt

tt

qq::

Рассмотрим примеры на Рассмотрим примеры на деление дробейделение дробей

Деление дроби на дробьДеление дроби на дробь

==55

11::

44

33

55

11··

33

44

44

33:: ==

1155

44

Желающие могут Желающие могут проверить свои знания проверить свои знания

арифметических арифметических действий с действий с

обыкновенными дробямиобыкновенными дробями