Post on 01-Jan-2016
description
复数代数形式的四则运算—乘除运算
六安市新安中学数学组胡永祥
一、知识回顾
( ) ( ) ( ) ( )a bi c di a c b d i 复数的加 /减运算法则:
1 2 2 1
( )1 2 3 2 1 3
( )交 律
合律
+ = +Ζ Ζ Ζ Ζ
Ζ Ζ )+Ζ Ζ Ζ +Ζ ) ( + = +(换
结
加法运算规律:对任意 z1,z2,z3∈C. 有
二、新课教学1. 复数乘法运算:我们规定,复数乘法法则如下:设 z1=a+bi z2=c+di 是任意两个复数,那
么它们的乘积为: (a+bi)(c+di )= ac+adi+bci+bdi2
= ac+adi+bci-bd
= (ac-bd)+(ad+bc)i
注意:两个复数的积是一个确定的复数
2. 应用举例计算 (3+4i)(-2-3i)
解:原式 = -6-9i-8i-12i2
= -6-17i+12 = 6-17i
分析:类似两个多项式相乘,把 i2 换成 -1
3. 探究:复数的乘法是否满足交换律,结合律以及乘法对加法的分配律?对任意复数 z1=a+bi,z2=c+di,z3=m+ni则 z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i而 z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i∴z1·z2=z2·z1
( 交换律 )
4. 乘法运算律
对任意 z1 , z2 , z3 C. ∈ 有
z1·z2=z2·z1 ( 交换律 )
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) ( 结合律 )
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 ( 分配律 )
5. 例题讲解例 3. 计算 ⑵(3+4i)(3-4i)⑴(1+i)2
⑵ 原式 = 9-12i+12i-16i2
= 9-(-16)
= 25
解: ⑴原式 = (1+i)(1+i)
= 1+2i+i2
= 1+2i-1 = 2i
注:可用实数系中乘法相应公式进行运算
分析:可利用复数的乘法法则计
算
( 是一个虚数 )
( 是一个实数 )
与实数系中完全平方展开式
一样
6. 共轭复数
记法:复数z=a+bi 的共轭复数记作
= a-bi
定义:实部相等,虚部互为相反数的两 个复数叫做互为共轭复数。
口答:说出下列复数的共轭复数
⑴z=2+3i
⑶z= 3
⑵z= -6i
注意:⑴当 a=0 时的共轭复数称为共轭虚数
( 如上⑵ )
⑵ 实数的共轭复数是它本身 ( 如上⑶ )
z( =2-3i )
( =6i )
( =3 )
7. 思考 ?若 z1 , z2 是共轭复数,那么
⑴ 在复平面内,它们所对应的点有怎样的位置关系?
⑵z1·z2 是一个怎样的数?解:⑴作图
得出结论:在复平面内,共轭复数 z1 ,z2 所对应的点关于实轴对称。
⑵ 令 z1=a+bi, 则 z2=a-bi
则 z1·z2=(a+bi)(a-bi)
=a2-abi+abi-bi2
=a2+b2
结论:任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数。
y
x
(a,b)
(a,-b)
z1=a+bi
o
y
x(a,o)
z1=a
ox
y
z1=bi
(0,b)
(0,-b)
o
8. 复数的除法法则探究:我们规定复数的除法是乘法的逆运算,试探 究复数除法的法则 .复数除法的法则是: (c+di≠0) ( ) ( ) ?=
a bia bi c di
c di
提示:这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数)从而使分母“实数化”。
( ) ( )即:a bi
a bi c dic di
a a( b- c)=b+ c ( b+ c)( b- c)
ab- ac= (分母有理化)b- c
( )( )
( )( )
a bi c di
c di c di
2 2 2 2 2 2
( )ac bd bc ad i ac bd bc adi
c d c d c d
例 4. 计算 (1+2i) ÷(3-4i)
解: i i(1 2 ) (3 4 )
i i i 2
2 2
3 6 4 8
3 4
先写成分式形式
然后分母实数化分子分母同时乘以分母的共轭复
数
结果化简成代数形式
i
i
1 2
3 4
i i
i i
(1 2 )(3 4 )
(3 4 )(3 4 )
i5 10
25
i1 2
5 5
9. 沙场练兵
⑴ (1-2i)(3+4i)(-2+i)
计算 :
⑴ 原式 = (3+4i-6i-8i2)(-2+i) = (11-2i)(-2+i) = -22+11i+4i-2i2
= -20+15i
⑵ 7+i3+4i(7+i )(3- 4i )
(2)原式 =(3+4i )(3- 4i )
2
2 2
21- 25i - 4i=
3 +425- 25i
=25
=1- i
解 :
三 .小结
⑴ 复数乘法的运算法则、运算规律,共轭 复数概念 .⑵ 复数除法运算法则 .
四 .作业 P62.练习
(1)( 3 2 )( 3 2 )i i 2
(2)2
i
i
2(1)原式 =-3+ 6i - 6i +2i3 2
52i (2+i )
(2)原式 =(2- i )(2+i )
2
2 2
4i +2i=
2 +14i - 2
=5
2 4=- + i
5 5
习题:
解:
返回