Post on 31-Dec-2015
description
我市某水库我市某水库 88 月月 11 日日 00 时的水位距警戒线时的水位距警戒线 4.4.55 米。据气象部门预报米。据气象部门预报 88 月月 11 日后我市区域仍将日后我市区域仍将持续降雨,水库水位将以每天持续降雨,水库水位将以每天 0.50.5 米的速度上涨,米的速度上涨,若全市抗洪紧急动员后,全体抗洪人员到位还需若全市抗洪紧急动员后,全体抗洪人员到位还需11 天。天。
问:最迟到几号如果下雨仍不止,全市将发布紧问:最迟到几号如果下雨仍不止,全市将发布紧急动员令?急动员令?
解答:如果下雨仍不止,解答:如果下雨仍不止, 88 月月 1010 日日 00 时水库水时水库水位将达到警戒线。最迟位将达到警戒线。最迟 88 月月 99 日日 00 时,全市将发时,全市将发布紧急动员令。布紧急动员令。
分析:可应用函数 分析:可应用函数 y=0.5xy=0.5x ,当,当 xx 增大时、增大时、 yy 随之增随之增大。 大。 故 故 x= 9x= 9 (天)时,(天)时, y= 4.5y= 4.5 (米)(米)
实例分析
研究下列函数的图象:
(1)y = x2 (2)y = x 3 (3)y = x
1
y
xo
y
xo
y
xox2x1
x1x2
X -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4
X -2 -1 0 1 2
y -8 -1 0 1 8
X -2 -1 0 1 2
y -0.5 -1 1 0.5
图像特征:
a bOx
y
y = f (x)
x2x1
f(x1) f(x2)
增函数
y = f (x)
x2x1
f(x1) f(x2)
减函数
Ox
y
a b
如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量值 x1 和 x2 , 当 x1 < x2 时,都有 f (x1) < f (x2) , 则 y = f (x) 叫做增函数,
当 x1 < x2 时,都有 f (x1) > f (x2) , 则 y = f (x) 叫做减函数。
例例 11 :如图是定义在闭区间:如图是定义在闭区间 [-5,5][-5,5] 上的函数上的函数 y=y=f(x)f(x) 的图象,根据图象说出的图象,根据图象说出 y=f(x)y=f(x) 的单调区间,的单调区间,以及在每一个单调区间上, 以及在每一个单调区间上, y=f(x)y=f(x) 是增函数还是是增函数还是减函数。减函数。
单调增区间是 单调增区间是 [-2,1), [3, 5][-2,1), [3, 5] 。。
答:答:函数函数 y=f(x)y=f(x) 的单调区间有的单调区间有 [-5,-2),[-2,1), [1,3), [-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5][3,5],, 其中 单调减区间是 其中 单调减区间是 [-5, -2), [1,3) [-5, -2), [1,3) ,,
注意!用逗号间隔开
例例 22 :证明函数:证明函数 f(x)=3x+2f(x)=3x+2 在在 RR 上是增函数。上是增函数。
f(xf(x11)-f(x)-f(x22)=(3 x)=(3 x11 +2)-(3 x +2)-(3 x22+2)+2)
由由 xx11<x<x22 ,得 ,得 xx11- x- x22 <0 <0
即 即 f(xf(x11)<f(x)<f(x22))
证明: 证明: 设设 xx11,x,x22 是是 RR 上的上的任意任意两个实数,且 两个实数,且 xx11<x<x22 ,,
= 3( x= 3( x11- x- x22))
于是 于是 f(xf(x11)-f(x)-f(x22)<0)<0
所以,函数所以,函数 f(x)=3x+2f(x)=3x+2 在在 RR 上是增函数上是增函数。。
取值取值
定号定号
变形变形作差作差
判断判断
例例 33 :判断函数:判断函数 f(x)=1/xf(x)=1/x 在在 (-∞,0)(-∞,0) 上的单调上的单调性。性。
f(xf(x11)-f(x)-f(x22)=1/x)=1/x11 –– 1/ x 1/ x22
由由 xx11<x<x22 <0 <0 ,得 ,得 xx2 2 - x- x11 > 0 > 0 而而 xx1 1 xx2 2 >>00
即 即 f(xf(x11)>f(x)>f(x22))
证明: 证明: 设设 xx11,x,x22 是是 (-∞,0)(-∞,0) 上的上的任意任意两个实数,两个实数,
且 且 xx11<x<x22 ,,
=(x=(x2 2 - x- x11 )/ x )/ x1 1
xx2 2
于是 于是 f(xf(x11)-f(x)-f(x22)>0)>0
所以,函数所以,函数 f(x)= 1/xf(x)= 1/x 在在 (-∞,0)(-∞,0) 上是单调减函上是单调减函数数。。
取值取值
定号定号
变形变形作差作差
判断判断
想一想?
例例 33 :证明函数:证明函数 f(x)=1/xf(x)=1/x 在在 (-∞,0)(-∞,0) 上是减函上是减函数。数。想一想想一想:在课本:在课本 5959 页例页例 33
已证明函数已证明函数 f(x)=1/xf(x)=1/x 在在 (0(0 ,,+∞)+∞) 上也是减函数。上也是减函数。
在整个定义域内在整个定义域内
f(x)=1/xf(x)=1/x 是不是减函数呢?是不是减函数呢?
反例:反例:取取 xx11= - 1 , x= - 1 , x22=1=1 ,则,则 f(-1)=-1,ff(-1)=-1,f(1)=1(1)=1
可见 可见 xx1 1 << xx2 2 时时 ; f(x; f(x11) > f(x) > f(x22)) 不一定成不一定成立。立。
课堂小结课堂小结
2. 2. 单调性的证明步骤。单调性的证明步骤。
1. 1. 函数单调性定义、图象特征、范围。函数单调性定义、图象特征、范围。 设设定义域为定义域为 II 。在。在 II 内某个区间上内某个区间上的的任意两任意两个自变量个自变量 xx11 、、 xx22 的值,当的值,当 xx11<x<x22 时,都有时,都有 f(xf(x11)<f)<f(x(x22)) ,那么就说,那么就说 f(x)f(x) 在这个区间上是在这个区间上是增增函数。函数。
如果对于属于如果对于属于定义域定义域 II 内某个区间内某个区间的的任意两任意两个自变量个自变量 xx11 、、 xx22 的值,当的值,当 xx11<x<x22 时,都有时,都有 f(xf(x11)>f)>f(x(x22)) ,那么就说,那么就说 f(x)f(x) 在这个区间上是在这个区间上是减减函数。函数。
取值取值 定号定号变形变形作差作差 判断判断
课外作业课外作业1.1. 课本课本 6060 页练习页练习 4 4
2. 2. 求求 y=-xy=-x22-6x+10-6x+10 的单调增区间、单调减区的单调增区间、单调减区间。间。
3. 3. 研究函数研究函数 f ( x ) = x +1/x f ( x ) = x +1/x 在其定义域内的在其定义域内的单调性单调性
3. 可利用函数的图象直接判断函数的增减性。
4. 用特殊的反例可否定函数的增减性