Методы вычислительного эксперимента

Введение

0. Введение. Общие сведения.

Объем курса – 34 часа лекции72 часа лабораторные занятия

Лабораторные занятия проводятся в классе ПЭВМ и выполняются в среде пакета Mathematica

Форма отчетности – экзамен (5 семестр)

Преподавание обеспечивает кафедра кибернетики

Лектор – Воротницкий Юрий Иосифович

0. Введение. Цели и задачи дисциплины.

Ознакомить с фундаментальными основами дисциплины «Методы вычислительного эксперимента»

Дать необходимые знания в области построения конструктивных вычислительных алгоритмов для решения типовых задач математического моделирования в радиофизике и электронике

Сформировать навыки формализации, разработки математических моделей и реализации вычислительных алгоритмов задач поиска оптимальных решений

0. Введение. Литература.

Основная1. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М.: Наука,

1980, 536 с.2. Полак Е. Численные методы оптимизации. Единый подход. -М.: Мир, 1974.3. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986,

318 с.4. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.:Наука,

1985, 334 с.5. Жаблон К., Симон Ж.-К. Применение ЭВМ для численного моделирования в

физике. М.: Наука, 1983, 235 с.6. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. –

М.: Мир, 1982.7. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1975

Дополнительная1. Таха Х. Введение в исследование операций.: Пер. с англ. – М.: Издательский

дом «Вильямс», 2001. 2. Поттер Д. Вычислительные методы в физике.- М.:Мир, 1975, 392 с.3. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. – М.: Наука, 1983.

0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.

Вычислительный эксперимент – методология исследования сложных научных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемых объектов.

Суть эксперимента: исследование объекта с целью изучения его характеристик в зависимости от условий эксперимента.

Цели эксперимента: Проверка гипотез, установление новых законов и

закономерностей окружающего нас мира. Целенаправленный поиск параметров объекта,

обеспечивающих наилучшие (заданные) характеристики

0. Введение.0.1. Предмет дисциплины.

Что позволяет вычислительный эксперимент: Расширение области экспериментальных

исследований Исследование недоступных объектов Исследование несуществующих объектов Возможность изменения физических законов

Расширение сферы теоретических исследований: Новые методы описания моделей (алгоритмическое

описание) Применение методов оптимального проектирования

для поиска параметров объекта исследования с наилучшими характеристиками

0. Введение.0.2. Схема вычислительного эксперимента

Абстрагирование объекта исследования

Построение математической модели

Построение вычислительного алгоритма

Разработка программного обеспечения

Проведение вычислений и анализ результатов

Абстрагирование объекта исследования: Определение главных (учитываемых) и второстепенных

(отбрасываемых) факторов. Формулировка физических законов, на основании которых будет

строиться модель. Оценка границ применимости модели.

Результат - физическая модель

Построение математической модели: Формализация – представление модели в математической

форме Предварительное исследование математической модели

(корректность, существование и единственность решения). Оценка границ применимости модели.

Результат - математическая модель

Построение вычислительного алгоритма: Дискретизация математической модели Разработка алгоритма Предварительное исследование алгоритма (выполнимость,

конечность, вычислительная сложность, устойчивость и др.) Результат – алгоритмическая модель

Разработка программного обеспечения: Выбор технологий и средств проектирования и

программирования Проектирование Кодирование (написание текста программы) Верификация, отладка, тестирование.

Результат - программная модель

Проведение вычислений и анализ результатов: Планирование вычислительного эксперимента. Проведение расчётов на ЭВМ. Анализ расчётов с целью установления новых следствий

из законов поведения объекта, оптимизация его параметров.

Уточнение границ применимости физической и математической моделей, алгоритмов и программных средств

Результат - завершение исследований, либо корректировка физической, математической, алгоритмической, программной моделей и повторение цикла вычислительного эксперимента

0. Введение.0.3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента

Существенные параметры объекта:Входные

объект на явоздействи внешние - ),...,,( 21T

модели параметры входные - ),...,,( 21T

lnyyyy

параметры внутренние енезависимы - ),...,,( 21T

Выходные:

Tk),...,,( 21

• Прямая задача: по известным входным параметрам найти значения выходных

),...,,( 21T

lnyyyy

Tk ),...,,( 21

• Обратная задача: по известным выходным параметрам восстановить значения выходных

- известны

- полностью или частично неизвестны

• При невозможности построения обратного оператора B-1 обычно строится итерационный процесс

),...,,( **2

* Tnxxxx

Tk ),...,,( **

**1 ),( txB

• Задача оптимизации: найти значения независимых внутренних параметров, приближающих выходные характеристики к заданным

- известны

- заданы

Tltttt ),...,,( 21

- требуется найти

**1 ),( txB

Модели. Дискретизация

1. Физические и математические модели1.1. Абстрагирование объекта исследования: линии передачи

Будем рассматривать двухпроводные линии передачи

Ограничимся квазистатическим приближением (поперечная ТЕМ – волна) Описывать волновой процесс будем в терминах токов и

напряжений в линии как функций координаты и времени Потерями на излучение пренебрегаем

В качестве входных параметров модели можно использовать обобщенные параметры: погонные емкость, сопротивление, индуктивность, проводимость

Модель линейная Параметры линии не зависят от величин токов и

напряжений Анализ границ применимости

V t( )

x + d xx x0

G C R н

Существенные параметры объекта:

Входные:

Выходные:

)(),(),(),(R , xLxGxCxl

HR ),(tV

),(),,( txItxUНезависимые

Внешние воздействия:

Физические законы:Закон сохранения электрического зарядаЗакон Ома для участка цепи

1. Физические и математические модели1.2. Математическая модель длинной линии

)(),(),(),(R , xLxGxCxlHR ),(tV

),(),,( txItxU

V t( )

x + dxx x0

G C R н

V t( )

x + dxx x0

G C R н

dxtxUtdxxUtxUU x ),(),(),(

dxxLtxIdxxRtxIdxtxUU tx )(),()(),(),(

V t( )

x + dxx x0

G C R н

]),([])([ dttxUdxxCUCQCUQ t

dxxCtxUdttxUdxdttxGtxUdxdttxIQ x )()],(),([),(),(),(

dxdtxCtxUdxdttxGtxU t )(),(),(),(

dxdtxCtxUdxdttxGtxU

dxdttxIQ

)(),(),(),(

dxxLtxIdxxRtxI

dxtxUU

)(),()(),(

xCUxUGI

xLIxIRU

V t( )

x + dxx x0

G C R н =0

)()0,(

[,0[ ];,0[

xCUxUGI

xLIxIRU

)(),0(

xCUxUGI

xLIxIRU

)(),0(

ttxxttxt

tx LCUUCUI

xt /)()0,(

)()0,(

[;,0[ ];,0[

LCUU ttxx

1. Физические и математические модели1.3. Гармонические колебания в линии с неоднородным

диэлектрическим заполнением

)cos()(),(

txItxI

txUtxU

),(),(

)cos()(

xLLxGG

xRRxCC

])(Re[),(

])(Re),(ti

xCUxUGI

xLIxIRU

)()()()()(

)()()(

xCeixxGexex

LeixRexextititi

tititix

)()()()()(

)()()(

xCixxGxx

LixRxx

)()()( xCixGxg

constLiRr

VU iVeV

)()()()(

xxrgxxg

xxxxxx

2. Дискретизация2.1. Метод сеток (Метод конечных разностей)

;),...,,(

[;,0[ ];,0[

LCUU ttxx

j(I, j)

2. Дискретизация2.2. Проекционные методы

;),...,,(

iii xaxxaxxU

10 )()()()()(

2. Дискретизация2.3. Замена физического объекта дискретным аналогом

(x)UU xx

ii eCeCU

eCeCxU

3. Метод сеток3.1. Аппроксимация производных

(x)UU xx

x1 … xk-1 xk xk+1 … xn

)( ;)(

kxkk 11 kk xx

dU kkx

kxkk kk xx 21

dU kkx

kk xx 21

11 kk xx ;62

kk xxkk

122 dx

dU kkx

xxk-1xk+1xk0

kk xx 21

11 kk xx

kkk xxxkk

11 242

UdhUUU

11 242

UdhUUU

Ud kkkxx

3. Метод сеток3.2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток

Ud kkk

(x)UU xx

;1,...2,1 ;)(2

kkkkkkk

nkUUxh

;1,...2,1 ;2

1,...,2,1 ;0)2(

nkUUhU

1,...,2,1 ;0)2(

nkUUhU

21...0

1...10

...121

3. Метод сеток3.3. Метод стрельбы

(x)UU xx

*)0( YUtg x

lUчтотакоеYНайти

Алгоритм метода стрельбы сводится к численному решению относительно Y нелинейного уравнения

0),( lx

при этом значения функции U вычисляются путем численного решения задачи

Найдя решение нелинейного уравнения Y=Y*, автоматически получают приближенное решение исходной задачи, так как решения задач

(x)UU xx

совпадают (разумеется, с некоторой точностью, определяемой точностью решения нелинейного уравнения и точностью численного интегрирования

3. Метод сеток3.4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений

Рассмотрим задачу Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат

квадратасторонахна),(

UU yyxx

Х1 Хk

Uk,j(k,j)

UUUU jkjkjk

yxxxjk

UUUU jkjkjk

yxyyjk

U k j, + 1

U k j + 1 ,

U k j, 1

U k j, U k 1 j ,

UUU jkjkjkjkjkjk

04 ,1,1,,1,1 jkjkjkjkjk UUUUU

ygU 1,1,1,1 njnk

1,1,,1,1, 4

1 jkjkjkjkjk UUUUU

U k j, + 1

U k j + 1 ,

U k j, 1

U k j, U k 1 j ,

1,1,1,1 njnk

1,1,,1,1, 4

1 jkjkjkjkjk UUUUU

Разностное уравнение – уравнение, полученное путем замены производных в исходном ДУ конечно-разностными аппроксимациями

Разностная схема – разностное уравнение + дискретные аналоги граничных (и начальных) условий

Вычислительный шаблон – совокупность узлов сетки, участвующих в аппроксимации производных в одном из узлов

3. Метод сеток3.5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби

nkksnk

jnjsjn

1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks

)1(, 4

sjk UUUUU

Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й

итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.

Метод Якоби (метод одновременных смещений):

1,,0,0,

)0(, )()(

jjnjnkkjk gggg

0,)0(0,

,0 Начальные значения на 0-й итерации:

1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].

2. Положить v:=0;

3. Для i=1..n-1 выполнить

x:=i*h; y:=i*h;

Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,n]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,n]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);

4. Положить v:= v/4/(n-1)

5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v

1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0..n,0..n], Ub[0..n,0..n].

x:=i*h; y:=i*h;

Ua[0,i]:=g(0,y); Ua[n,i]:=g(1,y); Ua[i,0]:=g(x,0); Ua[i,1]:=g(x,1); Ub[0,i]:=g(0,y); Ub[n,i]:=g(1,y); Ub[i,0]:=g(x,0); Ub[i,1]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);

5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить Ua[k,j]:=v

6. Выполнять в цикле

Положить δ:=0;

Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить

Ub[k,j]:=(Ua[k-1,j]+ Ua[k+1,j]+Ua[k,j-1]+ Ua[k,j+1])/4;

Ua[k,j]:=(Ub[k-1,j]+ Ub[k+1,j]+Ub[k,,j-1]+ Ub[k,,j+1])/4. Если δ<| Ua[k,j]-Ub[k,j]|, положить δ:=| Ua[k,j]-Ub[k,j]|

До тех пор, пока δ> ε

7. Вывести массив Ua

8. Завершить работу

0-я итерация

0-я итерация 1-я итерация

2-я итерация 1-я итерация

3. Метод сеток3.6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана

nkksnk

jnjsjn

1,1,1,1 ...,3,2,1,0 njnks

)1(, 4

sjk UUUUU

Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й

итерации в узле (k,j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле.

Метод Либмана (метод последовательных смещений):

1,,0,0,

)0(, )()(

jjnjnkkjk gggg

0,)0(0,

,0 Начальные значения на 0-й итерации:

1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],

x:=i*h; y:=i*h;

U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);

5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v

1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0..n,0..n],

x:=i*h; y:=i*h;

U[0,i]:=g(0,y); U[n,i]:=g(1,y); U[i,0]:=g(x,0); U[i,1]:=g(x,1);

v:=v+g(0,y)+g(1,y)+g(x,0)+g(x,1);

5. Для k=1..n-1, j=1..n-1 выполнить U[k,j]:=v

6. Выполнять в цикле

Положить δ:=0;

Положить q:=U[k,j]

U[k,j]:=(U[k-1,j]+ U[k+1,j]+U[k,j-1]+ U[k,j+1])/4 Если δ<| U[k,j]-q|, положить δ:=| U [k,j]-q]|

До тех пор, пока δ> ε

7. Вывести массив U

8. Завершить работу.

3. Метод сеток3.7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)

1,1,1,1 ...,3,2,1 njnks

sjk UUUU

Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1-й

итерации в узле (k,j), полученное по методу Либмана.

Приближенное значение функции на s+1-й итерации в узле (k,j), полученное по методу ПВР:

3. Метод сеток3.7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР)

1,1,1,1 ...,3,2,1 njnks

sjk UUUU

Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1-й

итерации в узле (k,j), полученное по методу Либмана.

Приближенное значение функции на s+1-й итерации в узле (k,j), полученное по методу ПВР:

3. Метод сеток3.7. Экстраполяция по Ричардсону

UиUВведем

3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы

yxfUU yyxx

границена),(

3. Метод сеток3.8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы

0),(4 ,

1,1,,1,1

jkjkjkjk

UUUU jkjkjk

yxxxjk

UUUU jkjkjk

yxyyjk

Х1 Хk

Uk,j(k,j)

jkjkjk

jk fUU

3. Метод сеток3.9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности

xxt UU

,10 x 0t),( txUU

)()0,( xgxU

)](),1([),1(

)(),0(

tqtUtU

xxt UU

,10 x 0t),( txUU

)()0,( xgxU

)](),1([),1(

)(),0(

tqtUtU

x 1 x k 1 x

,1,1 2, h

UUUU jkkjjk

UUU jkjk

x 1 x k 1 x

,1,1 2, h

UUUU jkkjjk

UUU jkjk

x 1 x k 1 x

,1,1 2, h

UUUU jkkjjk

,1,,11,

UUUUU jkjkjkkjjk

jkjkjkjkjk UUUh

UU ,1,,12,1,

x 1 x k 1 x

UUU jkjk

11,1,11,

jkjk qUh

UUU jkjk

UhqU jkj

1,111, h

UhqU jnj

1,111,

x 1 x k 1 x

UhqU jnj

1,111,

jkjkjkjkjk UUUh

UU ,1,,12,1,

k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,

x 1 x k 1 x

jkjkjk

j=0, k=1,2,,,n-1

x 1 x k 1 x

UhqU jnj

1,111,

x 1 x k 1 x

j=1, k=1,2,,,n-1

о ш и б ка о к р у гл е н и я

с у м м а р н а я о ш и б к а

о ш и б каа п п р о кс и -м а ц и и

3. Метод сеток3.10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость

0 )()(~

).()(~

;),()(~

);()( );( ;LL

;,...,2,1,0 ,:

;),()(L

hприxUxU

сходимость

GxxfxU

xUxUxf)xf(

GxxfxU

hkkhkh

. ;0)(lim

);()(~

khkhkh

еслиUточномук

сходитсяUрешениеоеПриближенн

xUxUxz

схемыразностнойьПогрешност

;)(max kk

kh Gxxfhf

Gнаhzчтотакие

hhkkkесли

малостипорядокйk

имеетсхемыразностнойьПогрешност

GxxzеслиUточномук

сходитсяUрешениеоеПриближенн

)(,0),(,0

. ;0)(lim ,

);()(~

khkhkh xUxUxz

схемыразностнойьпогрешност

hhh zUU ~

hhhhhhhhhhhhhh UfzfzUfzU LLLLL

Lh hh fU

hhhhhhhh UUzfU LLLL

hL LL цииаппроксимаошибкаUU hhhh

еслиGнаfLUисходнуюруетаппроксими

fULзадачаРазностная

цииаппроксимаошибкаUU

L LL h

. ;0)(lim0

цииаппроксимапорядокйkимеет

схемаразностнаятоGнаhM

hMMMhkkkесли

:)(,0),(,0

Разностная схема называется корректной, если:

1. её решение существует и оно единственно при любых ограниченных правых частях.

2. такое m > 0, m m(h), что для любой

hh fmU

Теорема: Пусть исходная задача

поставлена корректно, разностная схема

корректна, и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи (1), причём порядок малости погрешности совпадает с порядком аппроксимации (2).

;),()(L GxxfxU

hkkhkh GxxfxU

),()(~

Доказательство (1):

тиустойчивосизxzL hhh ,)(

0)(lim)(lim)(lim

)( 0)(lim

xmxmxz

цияаппроксимаx

Доказательство (2):

цииаппроксимапорядокйkhMk

, , MmобозначимhMmzk

тьустойчивосmz hh -

3. Метод сеток3.11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник

x 1 x k 1 x

UhqU jnj

1,111,

jkjkjkjkjk UUUh

UU ,1,,12,1,

k=1,2..n-1; j=0,1,2,,,

xxt UU

)()(),(l

lll tTxXatxU

lexX )( tl

)( khxk jt j

jlkl eeatxU

llkl ikll

khixi ehee j

ljt qee ljl 22

ikljkh qeatxUU l

Условие устойчивости: |ql| 1.

ikljkh qeatxUU l

,1,11, 2

UUUUU jkkjjkkjjk

)1()1(1 2

eqeqeqeqeq kijikjkijikjikj

eeq iiii

sin412

sin21cos1cos21 22

2sin41 2

sin0 2

3. Метод сеток3.12. Схема Кранка-Никольсона.

xxt UU 0 < x < 1, t > 0

)()0,( xqxU

)(),0( 1 tgtU

)(),1( 2 tgtU

t 0x 0 x k 1 x

kkk qxgU )(0

jjj gtgU 110 )(

jjkj gtgU 22 )(

1,11,1,11, 2

UUUUU jkjkjkkjjk

k, j+1k-1, j+1 k+1, j+1

1,11,1,11, 2 jkjkjkkjjk UUUUUr

kjjkjkjk rUUUrU 1,11,1,1 2

1,11,0

1,...,2,1 nk,...2,1,0j

kk qU 0

,1,11, 2 :

UUUUUU jkkjjkkjjk

1,11,1,11,1,

UUUUUU jkjkjkkjjk

1,11,1,11,

jkkjjk

jkjkjkkjjk

где 0 1

,1,11, 2 :

UUUUUU jkkjjkkjjk

1,11,1,11,1,

UUUUUU jkjkjkkjjk

1,11,1,11,

jkkjjk

jkjkjkkjjk

где 0 1

При = 1/2

jkkjjk

jkjkjkkjjk

UUUUUr

1,11,1,11,

jkjkkj

jkjkjk

1,11,1,1

1,...,2,1 nk ,...2,1,0j

k, j+1

3. Метод сеток3.13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией

xxt UU 0 < x < 1, t > 0

)()0,( xqxU

)(),0( 1 tgtU

)(),1( 2 tgtU

x 0 x k 1 x

)(),( tVtxU kk

)()(2)(

),(),(2),(1),(

tVtVtV

txUtxUtxUhx

txU kk )(),(2

211 )()(2)()(

tVtVtV

tdV kkkk

211 )()(2)()(

tVtVtV

tdV kkkk

)()( 10 tgtV

)()( 2 tgtVn

)()(0 ktk xqtV

1,...,2,1 nk

4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация и интерполяция

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

Tnaaaa ),...,,( 21

)(min xUxUa

dvUU DxUUxa

maxmin

iii xaxaxU

10 )()(),(

ГГxUx )()(0

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

0)( Гi x

],0[ ;sin)()(~

xiaxxUxU

2)),(~

)(()(~

adxaxUxUxUxU

0 sin)(2

],0[ );,(~

)( lxaxUxU jjj Nj ,...,2,1

)()()( 01

ijii xxUxa

)(...)()(

.........

)(...)()(

NNNNNNN

)1( xxii xii sin

iii xaxaxU

10 )()(),(

4. Проекционные методы4.1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок

)(),( axUxUaxR

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

Tnaaaa ),...,,( 21

dvxfxfxfxf )()()(),( 2121

UU ~0)(0

dvxwRRDx

UU ~)(xj

0)(),( D

j dvxaxR, Nj ,...,2,1

)(),( axUxUaxR

Dxxxxx Tn ,),...,,( 21

Tnaaaa ),...,,( 21

dvxfxfxfxf )()()(),( 2121

UU ~0)(0

dvxRRDx

UU ~)(xj

0)(),( D

UU ~)(xj

0)(),( D

)()(),(~

10 xaxaxU

dvUUdvR

iiji dvUdva )( 0

Nj ,...,2,1

iji dvUdva )( 01

Nj ,...,2,1

TNaaaa ),...,,( 21

ijij dvB D

jj dvUb )( 0

Nji ,...,2,1,

4. Проекционные методы4.2. Аппроксимация функций методом Галеркина

ijij dvB

jj dvUb )( 0

ijij dvB

jj dvUb )( 0

2 ldxdx

jiBij ,0

sin)( 0

0 sin)(2

advaUdVUU

2 min)~

dvaUaUa

iijiiji

iiji dvUdva

iji dvUdva Nj ,...,2,1

ijij dvB D

jj dvUb 0

4. Проекционные методы4.3. Аппроксимация функций методом коллокаций

xfdvxxxf

jiij xdvxxdvB

)()()()( 000 jj

jj xxUdvxxUdvUb

4. Проекционные методы4.4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений

)()( xfxU

nxxxx ),...,,( 21

)()( xxU

iii xaxaxU

10 )()(),(

)(),(~~~

),( xfaxUUUUUaxR

0)( xi

J Ni ,...,1 x

)()(0 xx

0)(),( D

j dvxxaR

j dvfadvR LL

jii dvfdva 01

)(),(~

),( xfaxUaxR

)(),(~

),( xaxUaxr

drvdVR j

dvdVdV ji

ji 321)( LLLL

Ud 1,0x VU )0( 0)1( U

iii xaxaxU

10 )()(),(

dxb jj

dvdVdV ji

ji 321)( LLLL

Ud 1,0x VU )0( 0)1( U

4. Проекционные методы4.5. Кусочные аппроксимации

U(x), 0 ≤ x ≤ l

в N точках x1, x2,…, xN, U(xj)=Uj.

iii xaxU

)()(~ 0)(0 x

NjxUxU jj ,...,2,1 );()(~

ii xaxU

ii xUxa

Nj ,...,1

x1 xN 1 xx2 x l = N

baxU j )(

~ Njxxx jj ,...,2;1

)()()(~

xxxxxxx

)()()(~

11 xaxaxU iiii ii xxx 1

0)(0 x 0)(1 xN

x1 x N 1 xx 2 x l = N

В методе коллокаций

)( jiij xB )( jj xUb

,1)( iiji xUaIB

)()()(~

xxxxxxx

)( ii xUa

)()()(~

iii xU

Ni ,...,2

4. Проекционные методы4.6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ

)()( xfxU

),(),( yxfyxU Dyx ),(

Udxdyfy

)(xfLU

LULU ,, DD

dvLUdvLU

0U 0, ULU

UfULUUF

xfLUUFU

)()(min:

iii dvafdvaaLL

dvafdvaaLLa

dvafaLLa

ijiijj dvfLaLL

dvafaLLa

ijiij dvfLaL

jii dvLfdvLa 01

Nj ,...,1

Методы вычислительного эксперимента

Documents

Transcript of Методы вычислительного эксперимента

Теория и Практика Технического и Технологического Эксперимента(А.Ю. Гришенцев)

Адронный калориметр (HCAL) эксперимента CMS

«SHIP: подготовка нового эксперимента CERN», Андрей Голутвин

МАСТЕР-КЛАСС «Роль химического эксперимента при выполнении исследовательских работ по экологии»

ТЕРМОГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ-ХИМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛАБОРАТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ПО ИНЖЕКЦИИ ЩЕЛОЧНОГО

«СПЕЦИАЛЬНЫЕ И КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ ...ea.donntu.org:8080/jspui/bitstream/123456789/28525/1/СМ...методы обогащения. Эти методы

О проведении эксперимента по оказанию адресной социальной помощи

Проблемы компоновки вычислительного комплекса Эльбрус3М1 в конструктиве Compact-PCI

Технологии GRID на примере проекта ARC NorduGrid Установка и настройка вычислительного кластера, подключенного

Планирование эксперимента в химии и химической технологии (С.А Семенов)

Основы вычислительного теплообмена и гидродинамикиk204.ru/standard/osnovy.pdf · 15 Векторные обозначения Тензорные

Методы классификации дифракционных изображений для эксперимента XFEL

Моделирование в рамках компьютерного эксперимента

Залевская_Значение слова через призму эксперимента

РЕАЛИЗАЦИЯ ПЕРВОГО ЭТАПА ГОРОДСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА: ИТОГИ И ПЕРСПЕКТИВЫ

«Реализация требований ФГОС в формате педагогического эксперимента»

Озеленение Тверской улицы - итоги летнего эксперимента

У E H = BЯ...4. Методы молекулярной биологии (ПЦР) 1. Генетические методы а) Методы направленного мутагенеза

ГОД Эксперимента: Что получилось?

Построение собственного вычислительного облака на базе программного обеспечения с открытым исходным