Post on 04-Jul-2015
ΤΠΟΛΟΓΙΜΟ ΣΟΤ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΣΟ:
2
2
0
sin xI dx
x
Με δεδομένο ότι:
0
sin 1
2
xdx
x
(1)
θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα:
2
2
0
sin xI dx
x
(2)
Για τον υπολογισμό λοιπόν του ολοκληρώματος στη σχέση (2),
θεωρούμε το γενικότερο ολοκλήρωμα (με παράμετρο λ):
2
2
0
sin ( )( )
xI dx
x , 0
(3)
Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα (3), κάνοντας
χρήση της μεθόδου της «παραμετρικής διαφόρισης».
Παραγωγίζουμε λοιπόν και τα δύο μέλη της σχέσης (3) ως προς την
παράμετρο λ και έχουμε:
2
2
0
( ) sin ( )dI d xdx
d d x ή
2
2
0
( ) 1[sin ( )]
dI dx dx
d d x ή
2
0
( ) 2 sin( )cos( )dI x x xdx
d x ή
0
( ) 2sin( )cos( )dI x xdx
d x ή
0
( ) sin(2 )dI xdx
d x
(4)
Θέτοντας: 2y x , οπότε:
2
yx ,
1
2dx dy
και αντικαθιστώντας στην (4), παίρνουμε:
0
( ) sin 1
2
2
dI ydy
yd ή
0
( ) sindI ydy
d y
(5)
Όμως έχουμε ως δεδομένο (σχέση (1))ότι:
0
sin 1
2
ydy
y
(6)
Έτσι λοιπόν από τις σχέσεις (5) και (6) έχουμε:
( ) 1
2
dI
d ή
1( )
2I C
(7)
Προκειμένου να υπολογίσουμε τη σταθερά C , κάνουμε χρήση
του γεγονότος ότι για 0 , το αντίστοιχο ολοκλήρωμα γίνεται:
(0) 0I και τότε η (7) δίνει:
0C (8)
Από τις (7) και (8) έχουμε:
1( )
2I
0
(9)
Θέτοντας λοιπόν στην (7), 1 παίρνουμε:
1(1)
2I ή
2
2
0
sin 1
2
xdx I
x
(10)
Η συνάρτηση: sin
sin ( )x
c xx
Η συνάρτηση sin ( )c x (cardinal sine), ονομάζεται και
«συνάρτηση δειγματολειψίας», εμφανίζεται συχνά στην θεωρία των
μετασχηματισμών Fourier και στην επεξεργασία σημάτων
(“sampling function”) και ορίζεται:
sin
sin ( )x
c xx
, για 0x
sin ( ) 1c x , για 0x
Η συνάρτηση sin ( )c x (Wolfram Mathworld)
To ολοκλήρωμα από 0 μέχρι x της συνάρτησης sin ( )c x , είναι η
συνάρτηση Sine Integral(x):
0
sin( ) ( )
xt
SineIntegral x Si x dtt
Η συνάρτηση Sine Integral(x)
Ας δούμε και τη γραφική παράσταση της
2
2
sin x
x
Η συνάρτηση
2
2
sin x
x (Graph 4.3)
ΑΤΓΟΤΣΟ 2013
ΥΙΟΡΕΝΣΙΝΟ ΓΙΑΝΝΗ