מבנה מחשבים סיפרתי4תרגול מספר

ייצוג מספרים ממשיים

1

תוכן הענייניםהגדרות.•

.Fixed Pointנקודה קבועה – •

.Floating Pointנקודה צפה – •

מוטיבציה.–

–.IEEE 754

–.8-bit IEEE-like format

–.IEEE 754 – Single precision2

הגדרות

המינימום והמקסימום על פני טווח של שיטת ייצוג: •המוחלט. ערכם פני ועל לייצג שניתן הערכים כל המיוצגים המספרים להיות יכולים כמה עד כלומר,

גדולים או קטנים.

מספר • של בין : (Precision)רזולוציה המרחק מספר לבין "שכניו" בייצוג.

המספר – רזולוציה 2.718דוגמה: בעל הינו בעוד 10-3 .10-9 הינו בעל רזולוציה 2.718281828שהמספר

3

הגדרות

הערך : (Accuracy)דיוק של מספר של הדיוק מידת אותו רוצים לייצג.

דוגמה: המספר - יותר למספר 3.141 קירוב מדויק הינו π המספר רזולוציה 3.253421756מאשר שלשני למרות ,

גבוהה יותר.

הרזולוציה הינה חסם מלמעלה לרמת הדיוק.•המספר - יותר 3.141592653דוגמה: מדויק קירוב הינו

.3.141מאשר המספר πלמספר

4

Fixed Pointנקודה קבועה –

באמצעות המבוקש המספר ייצוג הוא השיטה עיקרון מספר קבוע של ספרות משמאל לנקודת השבר ומימין

לנקודה.

bi bi–1 b2 b1 b0 b–1 b–2 b–3 b–j• • •• • • .124

2i–1

2i

• • •

• • •1/21/41/8

2–j

של הערך המספר:

bk 2k

k j

i

5

דוגמא

מייצגים מספרים בעזרת שמונה ביטים.-

נקודת השבר נמצאת בין הביטים הרביעי והחמישי.-

מייצג את המספר:10101100 למשל: הצירוף -

(1010.1100)2 = 10.75.

23+21 =8 + 2 = 102-1+2-2 =

0.5+0.25 = 0.75

6

)3.625(10 = )11.101(2 = )0011.1010(2 = 00111010

)6.5(10 = )110.1(2 = )0110.1000(2 = 01101000

דוגמא

נחבר את שני המספרים הבינריים ונקבל:

)1010.0010( 2 = )10.125(10

7

מתי משתמשים בנקודה קבועה?

.)Floating Point Unit )FPU כאשר אין במעבד -

כאשר הדיוק הנדרש חסום.-

במצבים בהם השימוש בנקודה קבועה יעיל יותר.-

חיסרון:

השיטה אינה יעילה כאשר צריך לפרוש טווח רחב של

מספרים.

8

9.11×10-31 kg =

0.000000000000000000000000000000911 kg

נקודה צפה – מוטיבציה

מהי מסת השמש?

1.988435×1030 kg =

1988435000000000000000000000000 kg.

מהי מסת המנוחה של האלקטרון?

סיביות103 ספרות ≈ 31

110 ספרות ≈ 33סיביות

9

נקודה צפה – מוטיבציה

כלומר, - גדול. מאוד הייצוג שלה הצגה שטווח רוצים

גדולים ומספרים מאוד קטנים מספרים להציג אפשר

מאוד.

לו. - המתאים המידה בקנה מספר לכל להתייחס יש

גבול מסוים, גודל איזה מבטא מספר כאשר כלומר,

למשל, המספר. של המידה בקנה תלוי הרצוי הדיוק

גודל גדולים מאוד אין חשיבות לשינוי בסדר במספרים

קטן מאוד.

10

נקודה צפה – מוטיבציה

ייצוג מספרים ממשיים:

13.245 x 10-4

Mantissa x base exponent

11

Floating pointנקודה צפה –

)בבסיס צפה נקודה בשיטת נעשה rייצוג של מספר )

באופן הבא:

הנקראים קטעים לשני הביטים רצף את מחלקים

מנטיסה ואקספוננט.

= r )עבור בסיס בינארי N = M x rEערך המספר הינו

2.)

Exponent )E( Mantissa )M(

12

נקודה צפה – הגדרות

הוא - צפה נקודה בשיטת מספר של ייצוג כי נאמר

אם:מנורמל

1 ≤ Mantissa < base

בבסיס בינארי:-

1| ≤ M| < 2כלומר מתקיים M = 1..… .

Unnormalized Normalized

2997.9 x 105 2.9979 x 108

B1.39FC x 1611 B.139FC x 1612

0.01011 x 2-1 1.011 x 2-3

13

נקודה צפה – הגדרות

מוטה נאמר כי ייצוג של מספר בשיטת נקודה צפה הוא -

(biased)

N = M x אם ערך המספר המיוצג ניתן ע"י Bעם הטייה

r)E-B(.

.B = 2|E|-1 -1 או B = 2|E|-1 לרוב משתמשים בערכים מאוד - ומספרים קטנים מאוד מספרים לייצג רוצים

גדולים.

מטרת ההטייה:

לקבל ערכים חיוביים (E-B) הטייה זו תגרום לאקספוננט -

וערכים

14 שליליים.

נקודה צפה – הגדרות

ל- בשיטת המשלים להשתמש לא למה כדי 2שאלה:

לייצג ערכים שליליים של האקספוננט?

קלה תהיה המספרים בין שההשוואה כדי תשובה:

110יותר. Mantissa )M(

Exponent

001 Mantissa )M(

בהנחה שהמנטיסה מנורמלת, איזה מספר גדול יותר?15

IEEE 754

המנטיסה מיוצגת בשיטת ביט סימן בצורה מנורמלת.-

.B = 2|E|-1 -1 האקספוננט הינו מוטה עם הטייה של -

S E F

ביט סימן

אקספוננט

החלק השברי

ערך המספר הינו: -

N = )-1(S x 2E-B x 1.F

0- לפי התקן קיימים ערכים מיוחדים. למשל, המספר

.E = F = 0מיוצג ע"י 16

IEEE 754לשני. אחד קרובים פורמטים כמה מגדיר הסטנדרט

:basic formatsשניים מהפורמטים נקראים

Sign Exponent )8 bit( Fraction )23 bit( - Mantissa

1( Single precision )float( – 32 bit:

– 23 bits for the mantissa.– 1 bit for the mantissa's sign.– 8 bits for the exponent.

17

IEEE 754לשני. אחד קרובים פורמטים כמה מגדיר הסטנדרט

:basic formatsשניים מהפורמטים נקראים

2( Double precision )double( – 64 bit:

Sign

Exponent )11 bit(

Fraction )52 bit( - Mantissa

– 52 bits for the mantissa.– 1 bit for the mantissa's sign.– 11 bits for the exponent.

18

8-bit IEEE-like format

Sign Exponent )3 bit( Fraction )4 bit( - Mantissa

ערך המספר הינו:

N = )-1(S x 2E-B x 1.F

.B = 2|E|-1 -1 = 23-1 -1 = 3הטייה:

19

Binary S E F Term Decimal

01101010 0 110 1010 )-1(0 x 2110-011 x 1.1010 13

דוגמאות

2110-011 = 26-3 = 23 = 8.)1.1010(2 = 1 + 1/2 + 1/8 = )1.625(10.8 x 1.625 = 13.

2110-011 = 26-3 = 23.23 x 1.1010 = )1101.0(2 = 8 + 4 + 1 = 13.

20

Binary S E F Term Decimal

01101010 0 110 1010 )-1(0 x 2110-011 x 1.1010 1300000000 0 000 0000 010010110 1 001 0110 )-1(1 x 2001-011 x 1.0110 -0.3437500110000 0 011 0000 )-1(0 x 2011-011 x 1.0000 1

דוגמאות

)-1(1 x 2001-011 x 1.0110 = -2-2 x 1.0110 = )-0.010110(2

)-0.010110(2 = - )2-2 + 2-4 + 2-5(10 = -0.34375

21

)-2.5(10 = )-10.1(2

-10.1 = - 1.01 x 21

S = 1

F = )0100(2

)E – 011(2 = )1(10

)E(2 = )4(10

E = )100(2

S E F

1 100 0100

בנקודה צפה?2.5-מה הייצוג של

צורה מנורמלת

22

)14.5(10 = )1110.1(2

1110.1 = 1.1101 x 23

S = 0

F = )1101(2

)E – 011(2 = )3(10

)E(2 = )6(10

E = )110(2

S E F

0 110 1101

בנקודה צפה?14.5מה הייצוג של

צורה מנורמלת

23

חיבור מספרים

הקטן 1( האקספוננט עם המספר את זהה יותר.

כך 2( שזהית, המספר של היצוג את המר שהאקספוננט שלו יהיה שווה לזה של המספר בערך המנטיסה חלוקת )ע"י הגדול

המתאים(.

חבר את המנטיסות.3(

ביט 4( צורך מחק יש )אם נרמל את התוצאה מימין(.

24

10חיבור מספרים – בסיס

A = 123, B = 56.78נחשב ישירות:

A= 1.23 x 102 , B = 5.678 x 101יצוג בצורה נורמלית:

נשתמש באלגוריתם: יש אקספוננט קטן יותר.Bלמספר 1()2B = 0.5678 x 102

1.7978 = 0.5678 + 1.23חיבור המנטיסות: 3(x 102 1.7978התוצאה מנורמלית: 4(

25

2חיבור מספרים – בסיס

A = 00100100, B = 11001001

נחשב ישירות:

A = )-1(0 x 2010-011 x 1.0100 = )0.10100(2 = 0.625

B = )-1(1 x 2100-011 x 1.1001 = )-11.001(2 = -3.125

הינה -10.1-התוצאה = 1.01 x 21 הינו והיצוג 11000100

26

נשתמש באלגוריתם:

של 1( של )A )010האקספוננט מהאקספוננט קטן B

)100(.

)2A = 0.010100 x 2100-011.

המנטיסות: 3( - 0.010100+ 1.1001-חיבור =

1.010000.

.x 2100-011 = 11000100 1.0100-התוצאה מנורמלית: 4(

2חיבור מספרים – בסיס A = 00100100, B = 11001001

S E F

A = )-1(0 x 2010-011 x 1.0100

B = )-1(1 x 2100-011 x 1.1001

27

3חיבור מספרים – דוגמא

A = 01100100, B = 01010011

נחשב ישירות:

הינה הינו x 23 1.11011= 1110.11התוצאה והיצוג 01101101

)שגיאת עיגול(.

A = )-1(0 x 2110-011 x 1.0100 = )1010.0(2 = 10.0

B = )-1(0 x 2101-011 x 1.0011 = )100.11(2 = 4.75

28

3חיבור מספרים – דוגמא

נשתמש באלגוריתם:

של 1( של )B )101האקספוננט מהאקספוננט קטן A

)110(.

)2B = 0.10011 x 2110-011.

1.11011 = 0.10011+ 1.0100חיבור המנטיסות: 3(

=1.1101.

.x 2110-011 = 01101101 1.1101התוצאה מנורמלית: 4(

A = 01100100, B = 01010011

שגיאת עיגול

A = )-1(0 x 2110-011 x 1.0100

B = )-1(0 x 2101-011 x 1.0011

29

IEEE 754 – Single precision

Sign Exponent )8 bit( Fraction )23 bit( - Mantissa

– 23 bits for the mantissa.– 1 bit for the mantissa's sign.– 8 bits for the exponent.

30

מנטיסה

1 ≤ Mantissa < base

עבור בסיס בינארי, הספרה לפני הנקודה חייבת להיות

1.. לא 23 ביטים למנטיסה במקום 24לכן, יש לנו בפועל

שומרים את האחד שלפני הנקודה.

של )single precision )floatעבור דיוק ספרות 7קיבלנו

31עשרוניות.

אקספוננט

B = 2|E|-1 -1 = 28-1 -1 = 127.

32

אקספוננט

מגביל את האקספוננט לתחום:IEEEהסטנדרט של

-126 ≤ exponent ≤ +127

האקספוננט ו 127עבור משמעות 128- יש +

מיוחדת.

33

Normalized

Condition:

E ≠ 00…0 and E ≠ 11…1

Exponent coded as biased value:

Exp = E – Bias

B = 2|E| - 1 -1

Mantissa:

1.F

34

DenormalizedCondition:

E = 00…0

Value:Exp = – Bias + 1M = 0.F

Cases:- E = 00…0, F = 00…0

Represents value 0.

- E = 00…0, F ≠ 00…0Numbers very close to 0.

35

Special ValuesCondition:

E = 11…1

Cases:- E = 11…1, F = 00…0

- Represents value ∞ )infinity(.

- Operation that overflow.

- E = 11…1, F ≠ 00…0

- Not-a-Number )NaN(.

- Represents case when no numeric value can be determined. Example sqrt)-1(.

36

Overflowגלישה -

37

Underflow

38

IEEE 754 – Single precision

Sign Exponent )8 bit( Fraction )23 bit( - Mantissa

– 23 bits for the mantissa.– 1 bit for the mantissa's sign.– 8 bits for the exponent.

N = )-1(S x 2E-B x 1.F , 1 ≤ E ≤ 254

N = )-1(S x 2-B+1 x 0.F , E = 039

NaNNaN

+

0

+Denorm +Normalized-Denorm-Normalized

+0

סיכום

40

6-bit IEEE-like format– E = 3 exponent bits

– F = 2 fraction bits

– Bias is 3

Notice how the distribution gets denser toward zero.

סיכום

-15 -10 -5 0 5 10 15

Denormalized Normalized Infinity

41

סיכום

-1 -0.5 0 0.5 1

Denormalized Normalized Infinity

6-bit IEEE-like format– E = 3 exponent bits

– F = 2 fraction bits

– Bias is 3

42