Post on 06-Feb-2018
1
STRUCTURAL ANALYSIS
By
Assoc. Prof. Dr. Sittichai SeangatithSCHOOL OF CIVIL ENGINEERING
INSTITUTE OF ENGINEERINGSURANAREE UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
2
บทท 3Moment Distribution
วตถประสงค1. เพอใหเขาใจ concept ของวธ moment distribution2. เพอใหสามารถวเคราะหคานและโครง frame แบบ statically
indeterminate โดยวธ moment distribution เพอเขยนแผนภาพ shear diagram, moment diagram และ elastic curve ไดอยางถกตอง
3.1 หลกการmoment distribution เปนวธการแกสมการ simultaneous ของวธ slope-deflection (ใน step ท 3) โดยวธหาคาแบบประมาณอยางตอเนอง
3
การบาน: moment distribution
3.1, 3.7 และ 3.9 + ตองมผลการคานวณจากคอมพวเตอรเปรยบเทยบทกขอ ไมเชนนน จะไมตรวจใหคะแนน
4
Sign Convention
เหมอนกบวธ slope-deflection
Fixed-End Moments (FEM)
เหมอนกบในวธ slope-deflection
5
ขนตอนการวเคราะห1. หาคา stiffness factors
3K - Far End PinnedEIL
=
4 K - Far End FixedEIL
=
2. หาคา distribution factors KDF=K∑
DF = 1 - For pinned end
DF = 0 - For fixed end
3. หาคา fixed-end moment หรอ FEM
4. ทา moment distribution5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
6. ราง elastic curve ของคาน6
Member Stiffness Factor และ Carry-Over Factormember stiffness factor เปนคา moment ทกระทาอยทปลายดานหนงของชนสวนของโครงสราง ซงทาใหเกดการหมนขนทปลายดงกลาว 1 radian ในขณะทปลายอกดานหนงถกยดแนน
= 1 radian
2 (2 3 ) FEMAB A B ABIM EL L
θ θ ∆= + − +
2 (2 3 ) FEMBA B A BAIM EL L
θ θ ∆= + − +
4A
EIL
θ=
2A
EIL
θ=
4 K
Far End Fixed
EIL
=
7
Carry-over factor คอ อตราสวนของ moment ทเกดขนทปลายดานหนงของชนสวนของโครงสรางทถกยดแนนตอ moment ทกระทาอยทปลายอกดานหนงของชนสวนของโครงสรางซงเปนหมด
20.54
ABA
AB A
EIM L
EIML
θ
θ= = +
Joint Stiffness Factor คอ ผลรวมของ member stiffness factor ของชนสวนของโครงสรางทเชอมตอกนท joint ดงกลาว
K KT =∑
8
Joint Stiffness Factor
K K K KT AD AB AC= + + 10000 kN-m=1000 4000 5000= + +
ดงนน JSF = คา moment ททาให joint A เกดการหมนเปนมม 1 radian
ADAD L
EI⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
4K
ABAB L
EI⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
4K
ADAD L
EI⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
4K
9
Distribution Factor (DF)เมอ moment M กระทาท joint A ของโครงขอแขงแลว ชนสวน AD, AB, และ AC จะรวมกนตาน moment ดงกลาว
AD AB ACM M M M= + +
จากสมการ slope-deflection4 KAD AD A
AD
EIML
θ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦KAB AB AM θ= KAC AC AM θ=
เมอแทนกลบลงในสมการความสมดลของ moment ท joint A แลว
2 (2 3 ) FEMAD A D ADAD
EIML L
θ θ ∆⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
10
(K K K )AD AB AC AM θ= + +
(K K K )AAD AB AC
Mθ =+ +
และเมอแทน θA ลงในสมการของ moment ท joint A แลว K DF
KAD
AD ADM M M= =∑K DF
KAB
AB ABM M M= =∑K DF
KAC
AC ACM M M= =∑
distribution factor ของชนสวนของโครงสราง
KDF=K∑
KM
=∑ KAD AD AM θ=
KAB AB AM θ=
KAC AC AM θ=
11
DF 1000/10000 0.1AD = =
DF 4000 /10000 0.4AB = =
DF 5000 /10000 0.5AC = =
ผลรวม = 1.0
0.1(2000) 200 N-mADM = =
0.4(2000) 800 N-mABM = =
0.5(2000) 1000 N-mACM = =
ผลรวม = 2,000 N-m
12
3.2 การวเคราะหคานโดยวธ Moment Distribution1. หาคา member stiffness factor K ของแตละชวงของคาน
4( )K ABAB
AB
EIL
=
4( )K BCBC
BC
EIL
=
เนองจากจด A และ C เปน fixed support ดงนน
K KA C α= =
6 440 (10 ) m /mE −=
6 460 (10 ) m /mE −=
64 [30(10 )]3
E −
=
64 [60(10 )]4
E −
=
4 K
Far End Fixed
EIL
=
13
2. หาคา distribution factor DF ท joint ของคาน
DF ABBA
AB BC
KK K
=+
จด A:
จด B:
จด C:
DF BCBC
AB BC
KK K
=+
6
6
40 (10 )DF 040 (10 )ABE
Eα
−
−= =+
6
6
60 (10 )DF 060 (10 )CBE
Eα
−
−= =+
KDF=K∑
6
6
40 10 0.4040 60 10
EE E
−
−= =+
6
6
60 10 0.6040 60 10
EE E
−
−= =+
14
3. หาคา fixed-end moment FEM ทปลายทงสองของแตละชวงของคาน
ชวงคาน AB ไมมแรงกระทา ดงนน
(FEM) (FEM) 0AB BA= =
ชวงคาน BC มแรง w = 3 kN/m กระทา ดงนน 2
(FEM)12BCwL
= −
2
(FEM)12CBwL
= +
23(4) 4 kN-m12
= − = −
23(4) 4 kN-m12
= =
FEMCB
FEMBC
15
4. หาการกระจายของ moment4.a สมมตให joint B ถกยดแนน ดงนน ชวง AB และ BC ของคานจะอยใน
สภาวะของคานทถกยดแนนทปลายทงสองดาน ซงจะทาใหเกด fixed-end moment ขนทปลายทงสองของชวง BC
0 0
16
moment ท joint B ในชวงคาน BC =
moment ท joint B ในชวงคาน BA = 0.4( 4) 1.6 kN-m+ = +
0.6( 4) 2.4 kN-m+ = +
4.b เมอทาการปลอย joint B แลว MB = -4 kN-m จะทาใหเกดความไมสมดลขนท joint B ซงจะตองถกสมดลโดย MB = + 4 kN-m ทเกดจากความแกรงของชวง AB และ BC และจะกระจาย (distribution) เขาสชนสวนดงกลาวโดยท
4 kN-m
1.6 kN-m 2.4 kN-m
17
4.c เนองมาจากการปลดปลอยให joint B เปนอสระ ดงนน moment ท joint B ทหามาไดจะถกถายเท (carry-over) ไปทปลายดานไกลของชวงของคานนนๆ โดยท carry-over factor ในกรณนมคาเทากบ +0.5
moment ทถายจาก BC ไปยง CB =
moment ทถายจาก BA ไปยง AB =0.5( 2.4) 1.2 kN-m+ = +
0.5( 1.6) 0.8 kN-m+ = +
18
4.d เนองจากผนงท A และ C เปน fixed support ดงนน ผนงดงกลาวจะรองรบ moment ทถายเทมาจาก joint B ทงหมดและจะอยในสมดล
4.e ทาการรวมคา moment ทแตละ joint ผลลพธทไดจะเปนคาของ moment ทเกดขนจรงทปลายของชวงของคาน
19
5. ใชสมการความสมดลหาคาแรงเฉอนและโมเมนตทเกดขนทปลายของชนสวนตางๆ ของคาน และทาการเขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram
20
21
6. ราง elastic curve ของคาน
22
3.3 Stiffness-Factor Modifications1.) Member Pin-Supported at Far End
2 (2 )AB A BIM EL
θ θ= +
2 ( 2 ) 0BA A BIM ELθ θ= + =
2A
Bθθ = −
3AB A
EIML
θ=
3K EIL
=
MBA
MAB
A B
23
2.) Symmetric Structure and Loading
B Cθ θ− = และ BC CBM M− =
2 (2 )BC B CIM EL
θ θ= +
2 (2 )CB C BIM EL
θ θ= +
ดงนน2EIM
Lθ=
2K EIL
=และ
2 ( 2 )IEL
θ θ= − +2EI M
Lθ= − = −
2 (2 )IEL
θ θ= −2EI M
Lθ= =
MBC
MCB
24
3.) Symmetric Structure with Antisymmetric Loading
และ
ดงนน6EIM
Lθ=
6K EIL
=และ
B Cθ θ θ= = BC CBM M M= =
2 (2 ) 2 (2 )BC B CI IM E EL L
θ θ θ θ= + = +
2 (2 ) 2 (2 )CB C BI IM E EL L
θ θ θ θ= + = +
MBC
MCB
6EI ML
θ= =
6EI ML
θ= =
25
ตวอยางท 3-1จงทาการวเคราะหคานโดยวธ moment distribution จากนน จงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve พรอมทงหาคา rotation ทจดรองรบ B เมอ EIAB = EI และ EIBC = 2EI
คานมจานวน DOF = 1 คอ θB
คานม degree of indeterminacy = 7-3 = 4
26
1. หาคา stiffness factors4( )K AB
ABAB
EIL
=
4( )K BCBC
BC
EIL
=
43EI
=
85EI
=
2. หาคา distribution factorsเนองจากจดรองรบ A และจดรองรบ C เปน fixed end ดงนน
4 / 3(DF) 04 / 3ABEI
EIα= =
+8 / 5(DF) 0
8 / 5CBEI
EIα= =
+
4 / 3(DF)4 / 3 8 / 5BA
EIEI EI
=+
(DF) 1 0.4545 0.5455BC = − =
0.4545=
27
2
2(FEM)ABPab
L= −
2
2(FEM)BAPba
L= +
2
(FEM)12BCwL
= −
(FEM) 4.167 kN-mCB = +
3. หาคา fixed-end moment
FEMBA FEMBCFEMAB FEMCB
2
210(1)2 4.444 kN-m
3= − = −
2
210(2)1 2.222 kN-m
3= − = +
22(5) 4.167 kN-m12
= − = −
28
4. moment distribution
+4.697-3.106+3.106-4.003∑M+0.5304+0.4419COM
+1.0607+0.8838DM+4.1667-4.1667+2.2222-4.4444FEM
00.54550.45450DFCBBCBAABMemberCBAJoint
(DF) (DF) 0AB BC= = (DF) 0.4545CB =(DF) 0.5455BC =
(FEM) 4.4444 kN-mAB = − (FEM) 2.2222 kN-mBA = +
(FEM) 4.1667 kN-mBC = − (FEM) 4.1667 kN-mCB = +
29
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
+4.697-3.106+3.106-4.003∑ MCBBCBAABMember
30
2.341 m
31
6. ราง elastic curve ของคาน
32
หาคา rotation ทจดรองรบ B
จากสมการ slope-deflection
2 (2 3 ) (FEM)ABBA B A BA
ABAB
EIML L
θ θ ∆= + − +
23.106 (2 ) 2.22223 BEI θ= +
0.663B EI
θ = ซงมทศหมนตามเขมนาฬกา
33
ตวอยางจงทาการวเคราะหคานโดยวธ moment distribution จากนน จงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve พรอมทงหาคา rotation ทจดรองรบ B เมอ EIAB = 0.75EIBC
คานมจานวน DOF = 3 คอ θA, θB และ θC
คานม degree of indeterminacy = 4-3 = 1
34
1. หาคา stiffness factors3K AB
ABAB
EIL
=
3K BCBC
BC
EIL
=
3(0.75 )5
0.45
BC
BC
EI
EI
=
=
0.5 BCEI=
2. หาคา distribution factorsเนองจากจดรองรบ A และจดรองรบ C เปน pinned end ดงนน
0.45(DF) 1.00 0.45
BCAB
BC
EIEI
= =+
0.5(DF) 1.00 0.5
BCCB
BC
EIEI
= =+
0.45(DF)0.45 0.5
BCBA
BC BC
EIEI EI
=+
(DF) 1 0.4737BC = −
0.4737=
0.5263=
0.75AB BCEI EI=
35
2
(FEM)8BC
wL= −
3. หาคา fixed-end moment
FEMBA FEMBC
212(6) 54.0 kN-m8
= − = −
2
(FEM)8BA
wL= +
28(5) 25.0 kN-m8
= + = +
36
4. moment distribution
0-38.737+38.7370∑M+15.263+13.737DM
0-54.0+25.00FEM1.00.52630.47371.0DFCBBCBAABMemberCBAJoint
(DF) (DF) 1.0AB CB= = (DF) 0.4737BA = (DF) 0.5263BC =
(FEM) 40.0 kN-mBA = +
(FEM) 54.0 kN-mBC = −
37
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
0-38.737+38.7370∑ MCBBCBAABMember
38.737 38.737
12.25327.747 42.456
29.5445 m 6 m
38
39
6. ราง elastic curve ของคาน
40
หาคา rotation ทจดรองรบ B
จากสมการ slope-deflection3 ( ) (FEM)AB
BA B BAABAB
EIML L
θ ∆= − +
338.737 ( ) 25.05 BEI θ+ = +
22.895B EI
θ = + ซงมทศหมนตามเขมนาฬกา
41
ตวอยางท 3-2จงทาการวเคราะหคานโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve
เนองจากชนสวน AB เปนปลายยน ซงไมรองรบ moment ทถายมาจากชนสวนอนๆ ดงนน เพอความสะดวกในการคานวณ เราจะทาการแยกชนสวน AB ออกจากคาน
1.2EI EI
42
4K BCBC
BC
EIL
=
4K CDCD
CD
EIL
=
1. หาคา stiffness factors4(1.2 ) 0.96
5EI EI= =
44EI EI= =
1.2EI EI
43
2. หาคา distribution factors
เนองจากปลายของคานทจด D เปน fixed end ดงนน
เนองจากชนสวน AB เปนปลายยน ดงนน (DF) 0BA = (DF) 1.0
0BC
BCBC
KK
= =+
(DF) 0CDDC
CD
K EIK EIα α
= = =+ +
0.96(DF)0.96CB
EIEI EI
=+
(DF) 1 (DF) 0.5102CD CB= − =0.4898=
K 0.96BC EI=
KCD EI=
44
3. หาคา fixed-end moment
FEMCB
FEMBA
FEMBC
(FEM) 20(2) 40 kN-mBA = = +2
(FEM)12BCwL
= −240(5) 83.333 kN-m
12= − = −
เนองจากชนสวน AB เปนปลายยน ดงนน
2
(FEM)12CBwL
= + 83.333 kN-m= +
เนองจากคานถกกระทาโดยโมเมนตภายนอกทจดตอ C และมทศทางตามเขมฯ โมเมนตนจะถกพจารณาใหเปน FEM ทกระทาตอชนสวนสมมต ซงมทศทางทวนเขมฯ ดงนน FEM ดงกลาวจะมคาเปนลบ
45-2.336+2.653-2.154COM-4.672-4.308+5.306DM
-5.528+8.980-5.306COM-11.055-10.612+17.960DM
-18.707+21.667-17.960COM-37.414-35.919+43.333DM
-10+83.333-83.333+40FEM00.51020.48981.00DF
DCCDCBBCBAMemberDCBJoint
4. moment distribution(DF) 0BA = (DF) 1BC = (DF) 0DC = (DF) 0.4898CB = (DF) 0.5102CD =
(FEM) 40 kN-mBA = + (FEM) 83.333 kN-mBC = −
(FEM) 83.333 kN-mCB = +
46-27.639-10-55.297+65.297-4040∑M-0.020-0.020+0.033DM
-0.033+0.040-0.033COM-0.067-0.065+0.080DM
-0.083+0.132-0.080COM-0.166-0.159+0.264DM
-0.275+0.325-0.264COM-0.549-0.528+0.650DM
-0.667+1.077-0.650COM-1.354-1.299+2.154DM
-2.336+2.653-2.154COM00.51020.489810DF
DCCDCBBCBAMember
47
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
-27.639-10-55.297+65.297-4040∑MDCCDCBBCBAMember
4040
65.297
40
27.639
48
49
6. ราง elastic curve ของคาน
50
วธการท 2:เมอทาการตดชนสวน AB ออกแลว จดรองรบ B จะเปน roller ทอยดานนอก ดงนน เราจะทาการวเคราะหคานนไดงายขนดงตอไปน
1. หาคา stiffness factors3K BC
BCBC
EIL
=
4K CDCD
CD
EIL
=
3(1.2 ) 0.725
EI EI= =
44EI EI= =
51
2. หาคา distribution factors
เนองจากปลายของคานทจด D เปน fixed end ดงนน
เนองจากปลายของคานทจด B เปน roller ดงนน 0.72(DF) 1.0
0 0.72BCEI
EI= =
+
(DF) 0DCEI
EIα= =
+
0.72(DF) 0.41860.72CB
EIEI EI
= =+
(DF) 0.58140.72CD
EIEI EI
= =+
K 0.72BC EI=
KCD EI=
52
เนองจากปลายของคานทจด B เปน roller ดงนน
3. หาคา fixed-end moment
FEMCB
2
(FEM)8CB
wL= +
240(5) 125 kN-m8
= =
53
4. moment distribution
เนองจากจด B ถกกระทาโดยโมเมนต 40 kN-m ซงมทศทางทวนเขมฯ ดงนน โมเมนตดงกลาวจะถกพจารณาเปนโมเมนตทมคาเปนลบ และจะถกถายเทไปเปน FEM ทปลาย C ของชนสวน BC โดยมคาเทากบ -20 kN-m
54-27.616-10-55.233+65.233-40∑M-27.616COM
-55.233-39.767DM-10+125FEM
-20
-40โมเมนตทเกดจากโมเมนตภายนอก
00.58140.41861DFDCCDCBMemberDCBJoint
(DF) 0.4186CB = (DF) 0.5814CD =(DF) 1BC = (DF) 0DC =
(FEM) 125 kN-mCB =
55
ตวอยางท 3-3จงทาการวเคราะหคานโดยวธ moment distribution เมอจดรองรบ B ทรดตวลงในแนวดงลง 5 mm พรอมทงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve กาหนดให EI = 10,000 kN-m2
1. หาคา stiffness factors 4K ABAB
EIL
=4
4EI EI= =
เนองจากปลายของคานทจด C เปน roller ดงนน 3KBC
BC
EIL
=3 0.5
6EI EI= =
56
2. หาคา distribution factors
เนองจากจดรองรบ A เปน fixed end ดงนน
เนองจากจดรองรบ C เปน roller ดงนน
(DF) 0AB =
(DF) 1.0CB =
(DF) 0.66670.5BA
EIEI EI
= =+
(DF) 1 0.6667 0.3333BC = − =
K AB EI=K 0.5BC EI=
57
3. หาคา fixed-end moment
2
6(10000)(0.005)4
= −
ชนสวน AB ของคาน
2
6(FEM) (FEM)AB BAEIL∆
= = − 18.75 kN-m= −
ชนสวน BC ของคาน
2
3(FEM)BCEIL∆
= + 2
3(10000)(0.005)6
= + 4.1667 kN-m= +
FEMBCFEMBA
FEMAB
58
4. moment distribution
0+9.027-9.027-13.889∑M+4.8614COM
+4.8606+9.7227DM0+4.1667-18.75-18.75FEM10.33330.66670DF
CBBCBAABMemberCBAJoint
(DF) 0AB = (DF) 1CB = (DF) 0.6667BA = (DF) 0.3333BC =
(FEM) (FEM) 18.75 kN-mAB BA= = −(FEM) 4.1667 kN-mBC = +
59
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
0+9.027-9.027-13.889∑MCBBCBAABMember
13.889 9.027
60
61
6. ราง elastic curve ของคาน
62
ตวอยางท 3-4จงทาการวเคราะหคานโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve ของคาน
คานมการแอนตวทสมมาตรรอบจดกงกลาง span1. หาคา stiffness factorsเนองจากจดรองรบ A เปน roller ดงนน
3K ABAB
EIL
=3 1.5
2EI EI= =
63
เนองจากความสมมาตรของคาน 2 2 2K
3 3BCBC
EI EI EIL
= = =
64
2. หาคา distribution factors
เนองจากจดรองรบ A เปน roller ดงนน
(DF) 1AB =
1.5(DF) 0.69231.5 2 / 3BA
EIEI EI
= =+
(DF) 1 0.6923 0.3077BC = − =
65
3. หาคา fixed-end moment
FEMBA
3(FEM)16BAPL
= +3(10)2 3.75 kN-m
16= + =
66
4. moment distribution
-1.154-1.1540∑M-1.154-2.596DM
3.750FEM0.30770.69231DF
BCBAABMemberBAJoint
(DF) 1AB = (DF) 0.6923BA = (DF) 0.3077BC =(FEM) 3.75 kN-mBA =
67
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
68
6. ราง elastic curve ของคาน
69
ตวอยางท 3-5จงทาการวเคราะหคานโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve ของคาน
คานมการแอนตวแบบ antisymmetric รอบจดกงกลาง span1. หาคา stiffness factorsเนองจากจดรองรบ A เปน roller ดงนน
3K ABAB
EIL
=3 1.5
2EI EI= =
70
เนองจากความ antisymmetric ของคาน
6KBCBC
EIL
=6 2
3EI EI= =
71
2. หาคา distribution factors
เนองจากจดรองรบ A เปน roller ดงนน (DF) 1AB =
1.5(DF) 0.42861.5 2BA
EIEI EI
= =+
(DF) 1 0.4286 0.5714BC = − =
72
3. หาคา fixed-end moment
FEMBA
2
(FEM)8BA
wL= +
25(2) 2.5 kN-m8
= + =
73
4. moment distribution
-1.425-1.4250∑M-1.425-1.072DM
2.50FEM0.57140.42861DF
BCBAABMemberBAJoint
(FEM) 2.5 kN-mBA =(DF) 1AB = (DF) 0.4286BA = (DF) 0.5714BC =
74
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
75
6. ราง elastic curve ของคาน
76
77
Sign Convention
เหมอนกบวธ slope-deflection
Fixed-End Moments (FEM)
เหมอนกบในวธ slope-deflection
moment distribution เปนวธการแกสมการ simultaneous ของวธ slope-deflection (ใน step ท 3) โดยวธหาคาแบบประมาณอยางตอเนอง
78
ขนตอนการวเคราะห1. หาคา stiffness factors
3K - Far End PinnedEIL
=
4 K - Far End FixedEIL
=
2. หาคา distribution factors KDF=K∑
DF = 1 - For pinned end
DF = 0 - For fixed end
3. หาคา fixed-end moment หรอ FEM
4. ทา moment distribution5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
6. ราง elastic curve ของคาน
79
ตวอยางท 3-1จงทาการวเคราะหคานโดยวธ moment distribution จากนน จงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve พรอมทงหาคา rotation ทจดรองรบ B เมอ EIAB = EI และ EIBC = 2EI
80
1. หาคา stiffness factors4( )K AB
ABAB
EIL
=
4( )K BCBC
BC
EIL
=
43EI
=
85EI
=
2. หาคา distribution factorsเนองจากจดรองรบ A และจดรองรบ C เปน fixed end ดงนน
4 / 3(DF) 04 / 3ABEI
EIα= =
+8 / 5(DF) 0
8 / 5CBEI
EIα= =
+
4 / 3(DF)4 / 3 8 / 5BA
EIEI EI
=+
(DF) 1 0.4545 0.5455BC = − =
0.4545=
81
2
2(FEM)ABPab
L= −
2
2(FEM)BAPba
L= +
2
(FEM)12BCwL
= −
(FEM) 4.167 kN-mCB = +
3. หาคา fixed-end moment
FEMBA FEMBCFEMAB FEMCB
2
210(1)2 4.444 kN-m
3= − = −
2
210(2)1 2.222 kN-m
3= − = +
22(5) 4.167 kN-m12
= − = −
82
4. moment distribution
+4.697-3.106+3.106-4.003∑M+0.5304+0.4419COM
+1.0607+0.8838DM+4.1667-4.1667+2.2222-4.4444FEM
00.54550.45450DFCBBCBAABMemberCBAJoint
(DF) (DF) 0AB BC= = (DF) 0.4545CB =(DF) 0.5455BC =
(FEM) 4.4444 kN-mAB = − (FEM) 2.2222 kN-mBA = +
(FEM) 4.1667 kN-mBC = − (FEM) 4.1667 kN-mCB = +
83
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
+4.697-3.106+3.106-4.003∑ MCBBCBAABMember
84
3.4 การวเคราะห frames ทไมมการเซ (No Sidesway)ขนตอนในการวเคราะห frames ทไมมการเซ (no sideway) มลกษณะเชนเดยวกบขนตอนในการวเคราะหคาน
85
ตวอยางท 3-6จงทาการวเคราะหโครงขอแขงโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยนshear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve
เนองจากโครงขอแขงมชนสวน AB เปนปลายยน ดงนน เพอความสะดวกในการกระจาย moment เราจะทาการแยกชนสวน AB ออกจากโครงขอแขง
4( ) 85
BCBC
BC
EI EIKL
= =4( ) 4
5BD
BDBD
EI EIKL
= =1. หาคา stiffness factors
มจานวน DOF = 1 คอ θB
ม degree of indeterminacy = 6-3 = 3
86
2. หาคา distribution factorsเนองจากชนสวน AB เปนปลายยน ดงนน
(DF) 0BA =
เนองจากจดรองรบ C และจดรองรบ D เปน fixed end ดงนน 8 / 5(DF) 0
8 / 5CBEI
EIα= =
+4 / 5(DF) 0
4 / 5DBEI
EIα= =
+
8 / 5(DF)4 / 5 8 / 5BC
EIEI EI
=+
(DF) 1 0.6667 0.3333BD = − =
8 0.666712
= =
87
36 kN
54 kN-m
3. หาคา fixed-end moment FEMBA
FEMBC FEMCB
(FEM) 36(1.5) 54 kN-mBA = + = +
2
(FEM)12BCwL
= −264.8(5 ) 135 kN-m
12= − = −
(FEM) 135 kN-mCB = +
88
4. moment distribution
+13.5+162+27-81+54∑M+13.5+27COM
+27+54DM0+1350-135+54FEM000.33330.66670DF
DCCBBDBCBAMemberDCBJoint
(DF) (DF) (DF) 0BA CD DB= = =
(DF) 0.6667BC = (DF) 0.3333BD =
(FEM) 54 kN-mBA = + (FEM) 135 kN-mBC = −
(FEM) 135 kN-mCB = +
89
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram ของคาน
จากรป แรงในแนวแกนของคานBC มคาเทาใด ???
90
6. ราง elastic curve
คาถาม: แผนภาพของแรงในแนวแกน (axial-force diagram) มลกษณะเปนอยางไร???
91
ตวอยางท 3-7จงทาการวเคราะหโครงขอแขงโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยนshear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve
โครงขอแขงมลกษณะทสมมาตร
1. หาคา stiffness factors4 4K
4ABAB
EI EI EIL
= = =
2 2K 0.54BC
BC
EI EI EIL
= = =
มจานวน DOF = 1 คอ θB = -θC
Bθ
ม degree of indeterminacy = 6-3 = 3
Cθ= −
92
93
2. หาคา distribution factorsเนองจากจดรองรบ A เปน fixed end ดงนน
(DF) 0AB =
เนองจากความสมมาตรของโครงขอแขง
(DF) 0.66670.5BA
EIEI EI
= =+
(DF) 1 0.6667 0.3333BC = − =
94
3. หาคา fixed-end moment
FEMBC FEMCB
2
(FEM)12BCwL
= −22(4) 2.667 kN-m
12= − = −
เนองจากความสมมาตรของโครงขอแขง
95
4. moment distribution
-1.7781.7780∑M0.8891.778DM-2.667FEM0.33330.66671DF
BCBAABMemberBAJoint
(DF) 0AB = (DF) 0.6667BA = (DF) 0.3333BC =
(FEM) 2.667 kN-mBC = −
96
5. เขยน FBD และแผนภาพ shear diagram และ moment diagram
-1.7781.7780∑MBCBAABMember
97 98
6. ราง elastic curve
99 100
3.5 การวเคราะห frames ทมการเซ (Sidesway)เมอโครงสรางมรปรางทไมสมมาตร และ/หรอ ถกกระทาโดยแรงภายนอกทไมสมมาตรแลว โครงสรางจะเกดการเซทางดานขางขนขนตอนการวเคราะห: ใชพนฐานของ principle of superposition
0 R RC′ ′= −
RC′ ′
ได moment Mo และแรงปฏกรยา R ท joint C
ได moment M' และแรงปฏกรยา R = C' R' ท joint C
RR
C′ =′ M M Mo C′ ′= +
101
ในกรณท 2 คา fixed-end moment ทเกดขนบนชนสวนของโครงขอแขงเนองจากการเซ ∆' ตองถกสมมตโดยท
(FEM) (FEM)AB BA=
(FEM) (FEM) 0BC CB= =
2
3 6(FEM) (FEM) 2CD DCCD CD CD
I EIEL L L
⎛ ⎞′ ′∆ ∆= = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
จากนน ใชวธ moment distribution หาคา moment ภายในทเกดขนท joint ตางๆ ซงกาหนดใหมคาเปน M'
32AB AB
IEL L
⎛ ⎞′∆= −⎜ ⎟
⎝ ⎠2
6
AB
EIL
′∆= −
2 (2 3 ) FEMAB A B ABIM EL L
θ θ ∆= + − + 2 (2 3 ) FEMBA B A BA
IM EL L
θ θ ∆= + − +
102
ขนตอนการวเคราะห: โครงขอแขงทมการเซ
1. หาคา stiffness factors 3K - Far End PinnedEIL
=4 K - Far End FixedEIL
=
2. หาคา distribution factors KDF=K∑
DF = 1 - For pinned end
DF = 0 - For fixed end3. หาคา fixed-end moment: กรณท 14. moment distribution: กรณท 1
11. เขยน FBD และ V- และ M-diagram
ทาการแบงโครงขอแขงออกเปน 2 กรณคอ กรณท 1 และกรณท 2
5. หาคาแรงปฏกรยา R: กรณท 16. หาคา fixed-end moment: กรณท 2 โดยสมมตคาการเซ ∆7. moment distribution: กรณท 28. หาคาแรงปฏกรยา R': กรณท 2 9. หาคาสมประสทธ C'10. หาคา moment M
RR
C′ =′
M M Mo C′ ′= +
12. ราง elastic curve
103
ตวอยางท 3-8จงทาการวเคราะหโครงขอแขงโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยนshear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve
มจานวน DOF = 3 คอ θB, θC, และ ∆ม degree of indeterminacy = 4-3 = 1
104
เนองจากโครงขอแขงมการเซเกดขน ทาการแยกโครงขอแขงออกเปน 2 โครง
1. หาคา stiffness factors4( )K AB
ABAB
EIL
= 44EI EI= =
3( )K BCBC
BC
EIL
=3(2 ) 2
3EI EI= =
R
105
2. หาคา distribution factorsเนองจากจดรองรบ A เปน fixed end ดงนน
(DF) 0AB =
เนองจากจดรองรบ C เปน roller ดงนน (DF) 1CB =
(DF)2BA
EIEI EI
=+
0.333=
(DF) 1 0.333BC = − 0.667=106
Case 1. หาคาแรงปฏกรยา R ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B
R3. หา fixed-end moment
FEMBC
22
2(FEM)2BC
P a bb aL⎡ ⎤
= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
22
2
10 2 (1)1 (2)3 2
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
4.44 kN-m= −
โมเมนตภายนอก 10 kN-m ทจดตอ B ถกพจารณาใหเปน FEM ทกระทาทชนสวนสมมตโดยมคา -10 kN-m (ทวนเขมฯ)
107
4. moment distribution
0+5.19+4.81+2.41Mo = ∑M+2.41COM
+9.63+4.81DM-10-4.44FEM
10.6670.3330DFCBBCBAABMemberCBAJoint
(DF) 0AB = (DF) 1CB = (DF) 0.333BA = (DF) 0.667BC =
(FEM) 4.44 kN-mBC = −
108
5. หาคาแรงปฏกรยา R ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B
0;BM =∑2.41 4.81
4AV +=
1.805 kN=
0;xF+
← =∑
1.805 kNR =
0+5.19+4.81+2.41Mo = ∑MCBBCBAABMember
109
Case 2. หาคาแรงปฏกรยา R' ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B6. หา fixed-end moment
FEMAB
สมมตใหโครงขอแขงเกดการเซเปนระยะ ∆ไปทางขวามอ ดงนน
FEMBA
2
6(FEM) (FEM)AB BAEIL∆
= = −
100 kN-m= −
2
6 100EIL∆=
2100(4 ) 266.676EI EI
∆ = =
110
0+66.7-66.7-83.35M' = ∑M+16.65COM
+66.7+33.3DM-100-100FEM
10.6670.3330DFCBBCBAABMemberCBAJoint
7. moment distribution (DF) 0AB = (DF) 1CB = (DF) 0.333BA = (DF) 0.667BC =
(FEM) (FEM) 100 kN-mAB BA= = −
111
8. หาคาแรงปฏกรยา R' ทกระทาท joint B และทาใหโครงขอแขงเกดการเซเปนระยะ ∆
0;BM =∑66.7 83.35
4V +=
37.51 kN=
0;xF+
→ =∑
37.51 kNR′ =
0+66.7-66.7-83.35M' = ∑MCBBCBAABMember
112
9. หาคาสมประสทธ C'R = 1.805 kN
R' = 37.51 kN
จาก principle of superposition( ) 0 R C R+
′ ′← = −
RCR
′ =′
1.805 0.048137.51
= =
113
10. หาคา moment ทเกดขนทปลายของชนสวนตางๆ ของโครงขอแขง MoM M C M′ ′= +
0+8.40+1.60-1.60∑M0+3.21-3.21-4.01C'M'0+66.7-66.7-83.35M'0+5.19+4.81+2.41Mo
CBBCBAABMemberCBAJoint
C′ ′∆ = ∆คาระยะการเซทเกดขนจรง266.67 12.83(0.0481)
EI EI′∆ = =
114
0+8.40+1.60-1.60∑MCBBCBAABMember
1.60 kN-m
1.60 kN-m
8.40 kN-m
115
11. เขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram
คาถาม: แผนภาพของแรงในแนวแกน (axial-force diagram) มลกษณะเปนอยางไร??? 116
12. ราง elastic curve
แผนภาพของแรงปฏกรยาทกระทาตอโครงขอแขงมลกษณะเปนอยางไร?
12.83EI
′∆ =
117
หาคา rotation ทจดรองรบ B
จากสมการ slope-deflection3 ( ) (FEM)BC
BC B BCBCBC
EIML L
θ ∆= − +
38.40 ( ) 4.443 BEI θ+ = −
12.84B EI
θ = + ซงมทศหมนตามเขมนาฬกา
คา rotation ทจดรองรบ C = ? 118
ตวอยางจงทาการวเคราะหโครงขอแขงโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยน shear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve เมอ E = 200 GPa
320 2480 3AB BC BCI I I= =
จากโจทย
240 0.5480CD BC BCI I I= =
ม degree of indeterminacy = 6-3 = 3มจานวน DOF = 3 คอ θB, θC, และ ∆
119
เนองจากโครงขอแขงมการเซเกดขน ทาการแยกโครงขอแขงออกเปน 2 โครง
1. หาคา stiffness factors
4( )K ABAB
AB
EIL
=
4( )K BCBC
BC
EIL
=4 49.6 9.6BC BC
E I EI= =
=+
4( )K CDCD
CD
EIL
=
4 0.5 0.54 BC BCE I EI= =
23AB BCI I= 0.5CD BCI I=
4 2 46 3 9BC BCE I EI= =
120
2. หาคา distribution factorsเนองจากจด A และ D เปน fixed end ดงนน
(DF) (DF) 0AB DC= =
K(DF)K K
BCCB
BC CD
=+
K(DF)K K
ABBA
AB BC
=+
4 / 94 / 9 4 / 9.6
=+
(DF) 1 0.5161BC = − 0.4839=
4K9AB BCEI=
4K9.6BC BCEI=
K 0.5CD BCEI=
0.5161=
4 / 9.64 / 9.6 0.5
=+
0.4545=
(DF) 1 0.4545CD = − 0.5455=
121
Case 1. หาคาแรงปฏกรยา R ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B
R3. หา fixed-end moment
2
(FEM)12BCwL
= −
237.5(9.6 ) 288.0 kN-m12
= − = −
(FEM) 288.0 kN-mCB = +
FEMBC
FEMCB
122
4. moment distribution: ครงท 1(DF) (DF) 0AB DC= =
(DF) 0.4545CB =
(DF) 0.5161BA = (DF) 0.4839BC =
(FEM) 288.0 kN-mCB = +(FEM) 288.0 kN-mBC = −
(DF) 0.5455CD =
123
5. หาคาแรงปฏกรยา R ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B
0;BM =∑193.02 96.50
6xA +=
48.253 kN=
0;xF+
→ =∑48.253 77.420 0R + − =
0;CM =∑206.46 103.22
4xD +=
77.420 kN=
R
48.253 kN 77.420 kN
29.167 kNR =124
Case 2. หาคาแรงปฏกรยา R' ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B6. หา fixed-end moment
FEMAB
สมมตใหโครงขอแขงเกดการเซเปนระยะ ∆'ไปทางซายมอ ดงนนFEMBA
(FEM) (FEM) 100 kN-mCD DC= = +
FEMDC
FEMCD
2
6( )100 kN-m DC
DC
EIL
′∆+ = +
2
6 (0.75 )100 kN-m4
ABE I ′∆+ = +
2100(4 )6 (0.75 )ABE I
′∆ = +
2
6( )(FEM) (FEM)6
ABAB BA
EI ′∆= = + 59.26 kN-m= +
125
7. moment distribution: ครงท 2(DF) (DF) 0AB DC= =
(DF) 0.4545CB =
(DF) 0.5161BA = (DF) 0.4839BC =
(DF) 0.5455CD =
(FEM) (FEM) 100 kN-mCD DC= = +
(FEM) (FEM) 59.26 kN-mAB BA= = +
126
8. หาคาแรงปฏกรยา R' ทกระทาท joint B และทาใหเกดการเซเปนระยะ ∆'
0;BM =∑39.31 49.28
6xA +=
14.765 kN=
0;xF+
← =∑14.765 31.458 0R′ − − =
0;CM =∑75.28 50.55
4xD +=
31.458 kN=
R'
14.765 kN 31.458 kN
46.223 kNR′ =
127
=
9. หาคาสมประสทธ C' R = 29.167 kN
R' = 46.223 kN
จาก principle of superposition( ) 0R C R+
′ ′→ − =
RCR
′ =′
29.167 0.6310146.223
= =
+
128
10. หาคา moment ทเกดขนทปลายของชนสวนตางๆ ของโครงขอแขง MoM M C M′ ′= +
174.56-31.90-50.55206.46
CBC
-174.5631.9050.55
-206.46CD
-55.72-217.82217.82127.60∑M+47.50-24.8024.8031.10C'M'75.28-39.3139.3149.28M'
-103.22-193.02193.0296.50Mo
DCBCBAABMemberDBAJoint
129
11. เขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram
130
axial-force diagram มความสาคญในการออกแบบ frame ทมการเซเปนอยางมาก สาเหตคออะไร???
แรงปฏกรยาทกระทาตอโครงขอแขง
131
12. ราง elastic curve
132
ตวอยางท 3-9จงทาการวเคราะหโครงขอแขงโดยวธ moment distribution พรอมทงเขยนshear diagram, moment diagram และรางแผนภาพ elastic curve
133
เนองจากโครงขอแขงมการเซเกดขน ทาการแยกโครงขอแขงออกเปน 2 โครง
1. หาคา stiffness factors4( )K AB
ABAB
EIL
=4 0.8
5EI EI= =
3( )K BCBC
BC
EIL
=6 1.2
5EI EI= =
134
2. หาคา distribution factorsเนองจากจดรองรบ A เปน fixed end ดงนน
(DF) 0AB =
เนองจากจดรองรบ C เปน roller ดงนน
(DF) 1CB =
0.8(DF) 0.40.8 1.2BA
EIEI EI
= =+
(DF) 1 0.4 0.6BC = − =
135
Case 1. หาคาแรงปฏกรยา R ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B
R
3. หา fixed-end moment
FEMBC
22
2(FEM)2BC
P a bb aL⎡ ⎤
= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
22
2
10 2 (3)3 (2)5 2
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
9.6 kN-m= −
136
4. moment distribution
0-3.84+3.84+1.92Mo = ∑M+1.92COM
+5.76+3.84DM-9.6FEM
10.60.40DFCBBCBAABMemberCBAJoint
(DF) 1CB = (DF) 0.4BA = (DF) 0.6BC =(DF) 0AB =
(FEM) 9.6 kN-mBC = −
137
5. หาคาแรงปฏกรยา R ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B
0-3.84+3.84+1.92Mo = ∑MCBBCBAABMember
0;CM =∑ 10(3) 3.845BRV +
= 6.768 kN=
0;AM =∑ 1.92 3.84 6.768(3)4BLV + +
=
6.516 kN=
0;xF+
→ =∑6.516 kNR = 138
Case 2. หาคาแรงปฏกรยา R' ทเกดขนทจดรองรบแบบหมดท joint B6. หา fixed-end moment
FEMAB สมมตใหโครงขอแขงเกดการเซเปนระยะ ∆ ดงแสดง และทาใหเกด FEM บนชนสวน AB = 100 kN-m ดงนนFEMBA
FEMBC2
6( )(FEM) (FEM) ABAB BA
AB
EIL
∆= = −
0.24 100 kN-mEI= − ∆ = −
และ FEM บนสวน BC ซงมการโกงตว 3∆/5 มคา =
2
3( )(FEM) BCBC
BC
EIL
∆= +
0.144EI= ∆
2
3(2 )(3 / 5)5
EI ∆=
60 kN-m= +
139
0+84-84-92M' = ∑M+8COM
+24+16DM+60-100-100FEM
10.60.40DFABBCBAABMemberCBAJoint
7. moment distribution (FEM) (FEM) 100 kN-mAB BA= = −
(FEM) 60 kN-mBC = +
140
8. หาคาแรงปฏกรยา R' ทกระทาท joint B และทาใหโครงขอแขงเกดการเซเปนระยะ ∆
0+84-84-92M' = ∑MABBCBAABMember
0;CM =∑ 84 16.8 kN5BRV = =
0;AM =∑ 92 84 16.8(3)4BLV + +
= 56.6 kN=
0;xF+
← =∑ 56.6 kNR′ =
141
9. หาคาสมประสทธ C'
R = 6.516 kN R' = 56.6 kN
จาก principle of superposition
( ) 0 R C R+
′ ′→ = −
RCR
′ =′
6.516 0.11556.6
= =
142
10. หาคา moment ทเกดขนทปลายของชนสวนตางๆ ของโครงขอแขง M
0+5.82-5.82-8.66∑M0+9.66-9.66-10.58C'M'0+84-84-92M'0-3.84+3.84+1.92Mo
CBBCBAABMemberCBAJoint
oM M C M′ ′= +
143
11. เขยนแผนภาพ shear diagram และ moment diagram
144
12. ราง elastic curve
145
3.6 การวเคราะห Multistory Frames โดยวธ Moment Distribution
ขนตอนการวเคราะห 1. ทาการยดโครงขอแขงไมใหเกดการเซ จากนน หาคา moment Mo และคาแรงปฏกรยา R1 และ R2 ทเกดขนทหมดทงสอง โดยใชวธ moment distribution 146
2. หาคา moment M' และคาแรงปฏกรยา R'1 และ R'2
147
3. หาคา moment M'' และคาแรงปฏกรยา R''1 และ R''2
148
4. หาคาสมประสทธ C' และ C''
2 2 2 0R C R C R′ ′ ′′ ′′− − + =
1 1 1 0R C R C R′ ′ ′′ ′′− + − =
5. หาคา moment ทเกดขนทปลายของชนสวนตางๆ ของโครงขอแขง MoM M C M C M′ ′ ′′ ′′= + +
149
End of Chapter 3