Лекция 1. Свободные колебания простых одномерных осцилляторов

2

“В науке необходимо воображение. Она не исчерпывается целиком ни математикой, ни логикой, в ней есть что-то от красоты и поэзии”

М. Митчелл, 1860

3

Физический маятник. Анимация

4

Гармоническое колебание

5

“Разные” колебания

6

Колебания “бегут” – “Волны”

Реакция Белоусова –Жаботинского

Волны при протекании реакцииБелоусова - Жаботинского

9

Маятник часов

10

11

Антракт

Энергия

гармонического

осциллятора

Wп

Wк

t

t

0

0

Скорость

максимальна

Деформации

нет

2

)(2 tkx

2

)(2 txm

t

WW0

WкWп

t

Wп + Wк= const

§ 1. продолжение …

Некоторые аналогии

Механический осциллятор

Электрический осциллятор

Смещение, x () Заряд, q

скорость, ( ) Сила тока, I ( )

Потенциальная энергия Энергия электрического поля конденсатора

Кинетическая энергия Энергия магнитного поля катушки

масса, m индуктивность, L

жёсткость пружины, k величина, обратная

электроёмкости конденсатора, 1/C

Сила (момент силы) ЭДС

x q

2

2kxU

С

qW

e2

2

2

2vmT

2

2

м

LIW

-2

0

0 5 10 15 20 25

0

2

тепловое расширение

кристаллов

!0

0r растёт !

Наиболее вероятное

расстояние между

атомами

1.5. Ангармонизм колебаний нелинейного осциллятора

4

Ангармонизм колебаний

Изохронность / Неизохронность

T = constИзохронность

Неизохронность !T const

А1

А2

А1

А2

Амплитуды разные

g

2)(

2gthty

2

)(2 tkxU

tAtx 02,1 cos)(

Лекция 2. Колебания в системе связанных осцилляторов

2.1. Симметричная система связанных осцилляторов

X

X

k1 kk

21

x10 x20

m

8

Нормальные колебания – “моды”

Симметричная система связанных

осцилляторов

а

б Противофазно

Синфазно

Антракт

Биения Симметричная система со слабой связью k1 << k

1(t)

t

2(t)

Связанные электрические контуры

Ёмкостная связь контуров

LI1

C–

+

C1

q

I2

+

–

–

+

L

C

направление

обхода

направление

обхода

q1 q2

Связанные электрические контуры

Ёмкостная связь контуров

а)

I1

I2

Синфазно

б)

I1

I2

Противофазно

Линейные молекулы CO2

Колебания молекул

1351 см-1

672 см-1

2396 см-1

2= 672 см-

1

1= 1351 см-

1

3= 2396 см-1

Симметричная мода

Три фундаментальные моды молекулы СО2:

1 - Симметричная валентная мода;

2 - деформационная мода

3 - антисимметричная валентная мода;

Антисимметричная мода

Деформационная мода

Колебания молекул Н2О

1= 3660 см-1 3= 3760 см-1 2= 1650 см-1

Молекулярная колебательная спектроскопия

ИК спектры

5000 4000 3000 2000 1000

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

as prepared PS

annealed PS

oxided PS

Bend. Si-O

& O-H

1630 cm-1

Si-O

1070 cm-1-

1145 cm-1

bend

- 630 cm-1

Str OH

3660-3750 cm-1

,

Str H2O

3400-3550 cm-1

Str

SiH, SiH2

2090, 2120 cm-1

Tra

nsm

itta

nce

, a.

u.

Wavenumber, cm-1

Молекулярная колебательная спектроскопия

ИК спектры

ИК спектроскопия The infra-red (IR) spectroscopy of porous silicon

5000 4000 3000 2000 1000

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

as prepared PS

annealed PS

oxided PS

Bend. Si-O

& O-H

1630 cm-1

Si-O

1070 cm-1-

1145 cm-1

bend

- 630 cm-1

Str OH

3660-3750 cm-1

,

Str H2O

3400-3550 cm-1

Str

SiH, SiH2

2090, 2120 cm-1

Tra

nsm

itta

nce

, a.

u.

Wavenumber, cm-1

Absorption line,

(cm-1)

Types of vibration mode

3745 SiOH

3610 OH stretching vibrations (in SiOH)

3452 OH stretching vibrations (in H2O)

2958 CH stretching vibrations (in CH3)

2927 CH stretching vibrations (in CH2)

2856 CH stretching vibrations (in CH)

2197 SiH stretching vibrations (in

SiO2SiH)

2140 Si-H3 stretching vibrations (in

SiH2SiH)

2116 SiH2 stretching vibrations (in

Si2HSiH)

1720 C=O

1056-1160 SiO stretching vibrations (in SiOSi

и CSiO)

980 SiF stretching vibrations

979 SiH bending vibrations (in Si2HSiH)

950 SiF stretching vibrations

948 SiH bending vibrations (in Si2HSiH)

827 SiO bending vibrations (in SiOSi)

800 SiCH3

624 SiH bending vibrations (Si3SiH)

617 SiSi

18

деформационные

валентные

Спектр комбинационного рассеяния света воды

Спектры комбинационного рассеяния света c-Si

Кремний (Si)

Оптические фононы

акустические фононы

Спектры КРС арсенида галлия (GaP)

21

Спектры КРС воды

Валентные колебания

22

Спектр комбинационного рассеяния света

23

Спектры комбинационного рассеяния света

Лекция 3 Свободные затухающие колебания

Малое затухание: < 0

)(cos)(0c0

teAt t

02 2

0 ω

http://somit.ru/roliki/fizm_z.swf

3

r = 0,02 кг/c

Малое затухание: < 0

а) r = 0,02 кг/c

б) r = 0,20 кг/c

Энергия осциллятора с затуханием

1 - потециальная энергия

2 - кинетическая энергия

3 - Полная энергия осциллятора с затуханием

teWtW 2

0)(

Большое затухание:

> 0

в) r = 0,80 кг/c

2/

1/

)(

tt

eBeAt

а)

б) = 0 «Критический режим»

tetBAt

)()(

0

Лекция 4. Вынужденные колебания

Энергия осциллятора с затуханием

1 - потециальная энергия

2 - кинетическая энергия

3 - Полная энергия осциллятора с затуханием

teWtW 2

0)(

К выводу уравнения вынужденных

колебаний

m

0

k

Xx

(t) = cos tF

F

0F

L

C+

–

R

u(t) = u0cos t

Амплитудная резонансная зависимость

5

Амплитудные и фазовые зависимости

р

6

22

0

2

)(

R

R()

22222

0

22222

0

0

0

4)(

2

4)(2

1)(

ββ

fFtP

222

0

22

0

4)(

2)(

βr

FtP

Кривая Лоренца

Резонанс

Лекция 5. Вынужденные колебания в электрических

цепях. Переменный ток

Генератор переменного тока

)2/cos(

cos)(cos)(

tBSdt

d

tBStBSt

i

)2/cos()(

tR

BS

RtI i

Генератор переменного тока

)2/cos(

cos)(cos)(

tBSdt

d

tBStBSt

i

)2/cos()(

tR

BS

RtI i

F

~U0cost

I0cos(t)

l

“R, L, C”

“R, L, C”

“R, L, C”

Цепь переменного тока

К выводу уравнения вынужденных

колебаний

m

0

k

Xx

(t) = cos tF

F

0F

L

C+

–

R

u(t) = u0cos t

RL C

~U0cost

I0R I0/CI0L

I

Резонанс в последовательном контуре

Амплитудная резонансная зависимость

8

Амплитудные и фазовые зависимости

р

9

Резонансный трансформатор Тесла

I. Лекция 6. Упругие волны

II. Лекция 7. Электромагнитные волны

“Путешественнику на корабле

кажется, что океан состоит из

волн, а не из воды”

А. Эддингтон, 1929

Лекция 6

1

),( txn

2),(),(

2

2

2

1

l

xl

xtxtlxn

2),(),(

2

2

2

1

l

xl

xtxtlxn

(1)уравнение Волновое

)()( 11 nnnnn ккm

nn–1 n+1 NN–11 2

X

l

xx–l x+l

l

12

n–1 n n+1 N–1

2

2

22

2

2

xt

v

2

2

2

2

2

2

:""

zyxЛапласаоператор

2

2

2

vt

или

Это “Классическое Дифференциальное Волновое Уравнение”

2

22

2

2

xкl

tm

(2)уравнение Волновое

22

v

Обозначим

mкl

Уравнением волны называется соотношение,

описывающее зависимость ξ (например, смещения частиц)

от координат и времени в явной форме:

),,,(),( tzyxилиtx

Уравнение волны – вид решения волнового уравнения

2

2

2

2

2

xt

v

v/xна иезапаздыван

X

nn–1 n+1 NN–11 2

l

xx–l x+l

l1

2 n–1 n n+1 N–1N

;/cos),( vxtAtx

;)cos(),( kxtAtx

;)(cos),( tAtx

tAt cos),0(

;2

T

2:"" kчислоВолновоеx

T

xx

22

vv

TволныДлина v:""

xtT

Atxили

22cos),(

)cos(),( kxtAtx

Продольные волны

)cos(),( kxtAtx

Поперечные волны

Волновой поверхностью называют такую поверхность, колебания во всех точках которой происходят в одной и той же фазе

Волновая поверхность, служащая «передней» границей «возмущенной» области пространства, называется волновым фронтом

Если фронт волны и волновые поверхности – плоскости, то волну называют плоской

)( источникаразмерDDx

rkrkxk cos

)cos(),( rktAtr

Плоская волна

волновая поверхность

xO

X

r v

k

Если волновые поверхности имеют сферическую

форму, волну называют сферической

rxD ,

)cos(),( 0 krtr

Atr

Сферическая волна

(нет поглощения средой)

3

;2

2

m

кlv

lx

txtlxдеформация

),(),(:

;22

222

x

lкl

x

кU

2

)( 2деформациякU

22

2

x

mU

v

4

;2

22

x

mU

v

волныупругойэнергия наяпотенциаль

n n+1

nn+1

xn0 x(n+1)0

2

)( 2деформациякU

lx

txtlxдеформация

),(),(:

;22

222

x

lкl

x

кU

;2

2

m

кlv

4

;2

2

t

mT

22

2

2 xt

mW

v

;UTW ;2

22

x

mU

v

волныупругойЭнергия

)( энергииплотностьwdV

dW

22

2

2 xtw

v

5

)(sin22

2222

kxtAt

wкин

)(sin22

222222

kxtkAx

wпот

vv

)(sin2

222)/( kxtAwпотk

vучётомс

;поткин www )(sin222 kxtAw

волныупругойЭнергия

кинw

потw

волныупругойЭнергия

Плотность потока энергии – энергия, переносимая волной в

единицу времени через «единичную площадку»,

перпендикулярную направлению распространения волны

v )()( twtS

Интенсивностью волны называется среднее по времени

значение плотности потока её энергии

vv 22

2

1 AwSI

tt

22222

2

1)(sin AkxtAw

tt

),( txww

6

волныупругойЭнергия

7

Вектор Умова:

«векторная интенсивность»:

v )(twS

vv 22

2

1 AwS

Поток энергии:

sSsS n dd

Лекция 7

Однородная непроводящая среда

""),(

),(волнаплоская

txBB

txEE

""

00

""

""""

22

11

)II(

)I(;

sdEt

ldB

sdBt

ldE

C

C

К выводу уравнения электромагнитной

волны

x Xx+dx

Y

Z

1y

z

z+dz

y+dy23

4

5

67

8

контур

“С1”

контур

“С2”

“1”

“2”

1n

2n

;)(),(

2

1

dydxxEldE y

;),(),(

1

4

3

2

ldEldE

dxdyx

EdyxEdxxEldE

y

yy

C

)()(),(

1

;)(),(

4

3

dyxEldE y

)1( at

B

x

Ezy

)2(00 at

E

x

B yz

1

4

4

3

3

2

2

1

),(1

ldEC

)I(1

s

dB

tldE

C

;

1

dxdyx

EldE

y

C

;1

dxdyBdB z

s

,)()(2

dxdzx

BdzxBdxxBldB z

zz

C

.2

dxdzESdE y

)II(00

2

s

dE

tldB

C

x

B

tx

Ezy

2

2

x

E

tx

B yz002

2

00

1

v

,2

2

2

2

2

:

x

E

t

E yy

Итог

v

2

22

2

2

x

B

t

B zz

v

Вибратор Герца

Связанные электро-магнитные поля

E(x,t) = E0 ∙cos(t – kx); B(x,t) = B0 ∙cos(t – kx + )

kE0sin(t – kx) = B0 sin(t – kx + )

kB0sin(t – kx + ) = E0 00sin(t – kx)

)1( at

B

x

Ezy

)2(00 at

E

x

B yz

;0

2

02

00

B

E .)(

)(,)(

)(0

22

0v

tEtB

tBtE

0

v00

22

0

EBB

Ewww BE

0

2

20

BE 2

2

0EwE

0

2

2

BwB

0

)()( = )()(

tBtEtwtS v

0

00

2)()(

BEtwtSI v

Вектор Пойнтинга

0

],[)()(

BEtwtS

v

0

00

2

],[)()(

BEtwtS

v

Поток

волнынитнойэлектромагЭнергия

Плотность потока энергииИнтенсивность

ss dSdS n

Φ

ss dtSdtS n )()(Φ

n

c

00

1

v

смс /1031 8

00

n

2

2

2

2

2

x

E

t

E

v